9. Формальні аксіоматичні теорії. Основні поняття.

ФАТ считается определенной если выполняются условия:

1.задан алфавит теории Т, представляющий некоторое счетное количество символов. Конечная последовательность символов алфавита называется словами или выражениями теории Т.

2.Имеется подмножество выражений теории Т, называемых формулами теории Т. имеется эффективная процедура, определяющая является ли выражение формулой.

3.Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории Т.

4.Имеется конечное множество R1…Rnотношений на множестве формул, называемых правилами вывода.

5.Выводом ФАТ F называется всякая последовательность В1…Вnформул этой теории такая что для любого і (1<=i<=n) формулаBiесть либо аксиомой, либо следствием каких-то предшествующих формул по одному из правил вывода.

Формула F теории Т называется теоремой, если существует вывод Т, последней формулой которого является F.

10. Інтерпретації та моделі формальної аксіоматичної теорії.

Пусть задана сигнатура Ω={const, Fn, Pr}. М – носитель интерпретации.

1.Каждой а є const ставится в соответствие ¬а є М.

2.Каждому n-местному функциональному символу f є Fn ставится в соответствие n-местная функция ¬f, определена на М.

3.Каждому n-местному предикатному P из Р2 ст. в соотв. ¬Р, которое есть н-арным отношением на множестве М.

Таким образом, сопоставляются символы сигнатуры. Получим алгебраическую систему А={ М, const а, а1…, ¬f0…}. Всякая замкнутая система есть интерпретация сигнатуры Ω.

Всякая замкнутая формула (не содержащая свободных переменных) в формальной теории сигнатуры Ω превращается в высказывание об элементах из М, функциях и отношениях на М.

Открытая формула превращается в некоторое отношение (предикат на М).

Открытая формула F называется выполнимой в данной интерпретации А, если существует такая подстановка предметных констант, при котором она превращается в сkедущее высказывание:

A F

Открытая формула F называется истиной в данной интерпретации А, если она превращается в истинное высказывание при любой подстановке констант, при этом интерпретация А является моделью формулы F.

Формула, истинная во всех интерпретациях, называется общезначимой или тавтологией.

Интерпретация (алг. системы А) называется моделью для множества формул Ф, если любая формула из Ф истина в данной интерпретации.

Интерпретация I называется моделью теории Т, если она является моделью множества всех теорем теории Т.

11. Дослідження властивостей формальних аксиоматичних теорій.

Непротиворечивость

Теория, в которой множество теорем покрывает всё множество формул (все формулы являются теоремами, «истинными высказываниями»), называется противоречивой. В противном случае теория называется непротиворечивой. Выяснение противоречивости теории — одна из важнейших и иногда сложнейших задач формальной логики. После выяснения противоречивости теория, как правило, не имеет дальнейшего ни теоретического, ни практического применения.

Полнота

Теория называется полной, если в ней для любой формулы  выводима либо сама , либо ее отрицание . В противном случае, теория содержит недоказуемые утверждения (утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами самой теории), и называется неполной.

Независимость аксиом

Отдельная аксиома теории считается независимой, если эту аксиому нельзя вывести из остальных аксиом. Зависимая аксиома по сути избыточна, и ее удаление из системы аксиом никак не отразится на теории. Вся система аксиом теории называется независимой, если каждая аксиома в ней независима.

Разрешимость

Теория называется разрешимой, если в ней понятие теоремы эффективно, то есть существует эффективный процесс(алгоритм), позволяющий для любой формулы за конечное число шагов определить, является она теоремой или нет.

12. Поняття алгоритму. Основні властивості алгоритмів.

Теория алгоритмов – наука, изучающая общие свойства и закономерности алгоритмов, разнообразные формальные модели их представления.

Алгоритм – это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задач, общих для класса возможных исходных данных.

Алгоритм – это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению задачи.

Алгоритм – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходный данных к искомому результату. Свойства алгоритмов:

Конечность (каждый алгоритм конечен)

Дискретность, Детерминированность, Элементарность шагов алгоритма, Массовость, Результативность.

Пусть алгоритм А имеет множество входных данных Х. Областью применения А называется подмножество алгоритм А применим.

Алгоритмически вычислимая функция – функция, для которой существует алгоритм, ее вычисляющий.

Множество L называется алгоритмически перечислимым, если оно является областью значений некоторой алгоритмически вычислимой функции или если существует алгоритм, который перечисляет элементы множества L и только их. Множество L называется алгоритмически разрешимым относительно множества U, если существует алгоритм, который позволяет ответить на вопрос: принадлежит он L или нет.

Каждое алгоритмически разрешимое множество является алгоритмически перечислимым.