1. Теорема дедукції (з доведенням).

Если Г – множество формул и А, В – формулы, и из Г и А выводима В (Г,А|-В), то из Г|-А->B.

Доказательство:

Г,А|-В согласно определению, существует последовательность формул В1,В2… Вn , Вn=В. Мы должны показать, что Г|-А->Bk.

Мат. Индукция:

I) k=1; Г|-А->B1; B1=B;

B1: 1) аксиома, 2) одна из формул Г, 3) Формула А.

В1 – выводимая по определению вывода.

1) А->(B->A) //aкс I-1

2) B1->(A->B1) // S_{A B} ^{B1 A}

3) MP: A->B1-выводима

Следов., Г |-A->B1

II) Г |-A->Bi (i<k)

III) Г |-A->Bk - ?

Bk: 1)аксиома, 2) одна из формул Г, 3) Формула А,4)получена из формулы Bi Bj (i,j<k)

1) Bi -> (Bi->Bk)

2) Г |-A->Bi

3) Г |-A->(Bi->Bk)

4) (A->(B->C))->((A->B)->(A->C))// aкс I-2

5) (A->(Bi->Bk))->((A->Bi)->(A->Bk)) // S…

6) (A->Bi)->(A->Bk) //MP 3,5

7) A->Bk //MP 2,6

k=n; Г|-A->Bn или Г |-A->B

Теорема дедукции связывает между собой формальное доказательство и выводимость из гипотезы. Она дает возможность переходить от выводимости из гипотез к теореме, которые свободны от гипотез.

2. Проблема повноти, несуперечності, розв'язності числення висловлювань. Незалежність аксіом числення висловлювань.

Полнота исчисления высказываний

Теорема 1. Всякая выводимая в исчисления высказываний (ИВ) формула является тождественно истинная (тавтология) алгебры высказываний.

Если |- F, то |= F (|= - тожд. истинная).

Док-во. Пусть формула F выводима. Следовательно существует последовательность формул (В₁, В₂,…, В_п = F).

? F – тавтология??

1.n=1 Все аксиомы являются тавтологиями

2.S<= n (Все формулы с длиной s<=n являются тавтологией )

3.S= n+1 (В₁, В₂,…, В_п, В_п+1)

В_п+1 – может быть аксиомой, либо получена из 2 предшествующих формул (В_i;В_j) по MP

В_j = В_i -> В_п+1

Теорема 2. Всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний выводима в исчислении высказываний.

Если |= F, то |- F.

Теорема (о полноте ИВ) Формула исчисления высказываний выводима в ИВ (является теоремой ИВ) тогда и только тогда, , когда она является тавтологией алгебры высказываний.

Непротиворечивость ИВ

Аксиоматическая теория наз. непротиворечивой, если ни для какого утверждения А, сформулированного в терминах этой теории, само утверждение А и его отрицание  А не могут быть одновременно теоремами данной теории.

Теорема. ИВ непротиворечивая теория.

Следует из теоремы о полноте. Формулы A и A одновременно не могут быть выводимыми.

Разрешимость ИВ

Аксиоматическая теория наз. разрешимой, если существует алгоритм, позволяющий для любого утверждения, сформулированного в терминах этой теории, ответить на вопрос, будет или нет это утверждение теоремой данной теории.

Теорема. ИВ есть разрешимая теория.

Независимость аксиом ИВ

Аксиома А системы аксиом ∑ наз. Независящей от остальных аксиом этой системы, если её нельзя вывести из остальных аксиом этой системы (∑\{А}).

№3. Алфавіт мови логіки предикатів. Визначення терма, формули мови першого порядку. Вільні та зв'язані входження змінних. Терм, вільний для змінної у формулі.

n-местным предикатом, определенным на множествах,,…,, называется предложение, содержащееnпеременных,,…,и превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных конкретных высказываний из множеств,,…,соответственно.

Множеством истинности предиката , заданного на множествах,,…,, называется совокупность всех упорядоченныхnсистемтаких, что при их подстановке предикат превращается в истинное высказывание.

Два предиката P и Q являются равносильными, если их множества истинности совпадают.

Алфавит языка теории первого порядкасостоит из:

1. Предметные константы ,,,…,,…

2. Предметные переменные ,,,…,,…

3. Функциональные символы (буквы из середины алфавита) ,,,…,,…

4. Предикатные символы ,,,…,,…

5. Символы логических операций ,,,,,,

6. Вспомогательные символы () ,

Множество предметных констант Const, множество функциональных символов Fn, множество предикатных символов Pr образуют сигнатуру языка первого порядка.

Основными конструкциями языка первого порядка являются термы и формулы.

Индуктивное определение терма:

1.Каждая переменная есть терм.

2.Каждая константа есть терм.

3.Если - этоk-местный функциональный символ, а - термы, то- терм.

(Правило порождения терма)

Элементарной (атомарной) формулой называется выражение , где- термы, а-n-местный предикатный символ.

Индуктивное определение формулы языка первого порядка:

1. Каждая элементарная формула есть формула.

2. Если - формула языка первого порядка, то- также формула.

3. Если ,- формулы, то,,,- формулы.

4. Если - формула, а- переменная, то выражения,- также формулы.

5. Любое вхождение переменной в формулуилиназываетсясвязанным вхождением переменной , а предметная переменнаяназывается связанной.

Сама формула называетсяобластью действия соответствующего квантора по переменной .

6. Предметная переменная (вхождение предметной переменной) называется свободной (свободным вхождением), если она (оно) не находится в области действия квантора по этой переменной.

7. Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой.

₍подчеркнуто свободное вхождение)

Терм свободен для переменной в формуле, если никакое свободное вхождение переменнойв формулуне находится в области действия кванторов по переменным, входящим в терм.

- свободен

- не свободен