Приклади для самостійного розв’язання

1. Дана функція Знайти :f(0), f(3), f(4),f(-1), f(2-), f(а-1), f(а)-1.

2. Знайти - лінійну функцію, якщоf(0)=-6 і f(4)=2.

3. Знайти квадратичну функцію якщоf(0)=4, f(1)=2, f(2)=6.

4. Знайти корені рівнянь: f(х) = f(0), f(х)= f(2).

5. Визначити функцію третього степеня

Якщо f(-1)=-8, f(0)=1, f(1)=2, f(2)=7.

6. Дана функція Знайти корені рівнянняf(х)=0.

7. Знайти і

8. Відомо, що . Знайти,.

9. Дано . Знайти.

10. Дана функція . Знайти:,,,,.

11. Дано . Знайти.

12. Дана функція . Знайти,,,,.

Визначити область існування таких функцій:

13. . 14..

15. . 16..

17. . 18..

19. . 20..

21. .

22. .

23. .

Відповіді:

1. 1; -2; 1; 6; 0; ;.

2. .

3. .

4. а) 0; 3,5. б) 2; 2,5.

5. .

6. –2; -1; 1.

7. , .

8. ; .

9. .

10. –1; 0; ;; 2.

11. .

12. ; ;;;- неіснує.

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. 

22. .

23. ,

Побудувати графік (по точках) таких функцій:

24. а) ; б); в).

25. а) ; б); в),г) ; д);е) .

26. а) ; б); в);г) ; д).

27.

28.

2.2 Монотонні функції

Означення. Функцію , визначену на інтервалі , називають:

зростаючою, якщо із нерівності випливає нерівність ;

спадною, якщо із нерівності випливає нерівність ;

неспадною, якщо із ;

незростаючою, якщо із .

Кожну із таких функцій називають монотонною, а функції зростаючі і спадні називають строго монотонними.

Часто функція, задана на деякому інтервалі, не є монотонною, але цей весь інтервал можна розбити на такі окремі інтервали, що на кожному з них функція буде монотонною (див. рис. 5).

Y

Рис.5

На кожному з інтервалів , , – функція монотонна.

Зауважимо, що існують функції, які немонотонні ні на якому інтервалі, наприклад, функція Діріхле.

Приклади. Знайти проміжки зростання та спадання функцій, а також найбільше й найменше значення (якщо вони існують):

1. .

Розв’язання. Функція існує для всіх . Нехай, тоді, тобто функція- зростає (скорочено).

2. .

Розв’язання. Дана функція не існує у точці , ії область існування складається з проміжківі.

На проміжку - спадає (скорочено ). Дійсно, нехай і , тоді віднявши від обох частин нерівності число 3, отримаємо, а для обернених величин знак нерівності змінюється на протилежний, тобто , а це означає, функція – спадає

Аналогічно для і маємо спадає

3.

Розв’язання. Виділимо у заданому виразі повний квадрат

тоді

Нехай і тодіОскількито із нерівності

тобто функція – зростає.

Аналогічно для і

функція спадає.

При , – найбільше значення функції.

Приклади для самостійного розв’язання

Для поданих нижче функцій знайти проміжки зростання і спадання, а також найбільше і найменше значення (якщо вони існують):

1. 2.

3. 4. 5. 6.

Відповіді: 1. Спадає на , зростає на,– мінімум прих=2, f(2)=5 – min.

2. Зростає на , спадає на,f(-6)=4 – максимальне значення. 3. Зростає на і на.4. Зростає на .5. Спадає на .6.Зростає на ,Спадає на,

При – максимум;

при – мінімум.