II. Функції

2.1 Поняття функції. Способи задання функцій

При розв’язуванні багатьох задач прикладного характеру або чисто математичних доводиться мати справу із співвідношеннями між різними величинами. Може трапитись так, що при певних умовах дві величини зв’язані так, що кожному значенню першої із них відповідає точно визначене значення другої. В такому випадку говорять, що друга величина є функцією першої.

Означення. Якщо кожному числу із даної множини за деяким правилом або законом ставиться у відповідність одне число , то говорять, що на множині задана функція (однозначна), яку записують

.

Дане означення було запропоновано М.І.Лобачевським і Діріхле¹. Множина називається при цьому областю визначення або областю існування функції; змінна величина , що набуває всі значення з множини , називається незалежною змінною або аргументом. Згідно зі згаданим законом кожному ставиться у відповідність значення змінної , яку називають функцією або залежною змінною. Множина значень функції , називається областю її значень або областю зміни функції. Якщо ж кожному значенню змінної відповідає не одне, а декілька значень функції , то функція називається багатозначною.

Наприклад, .

Для позначення функцій можуть використовуватись інші символи: так само, як замість незалежної змінної можна писати . Іноді пишуть і т.д., тобто букви і т.д. означають і залежну змінну, і символ функціональної залежності від аргумента .

Якщо – задане дійсне число, то символ означає число . Говорять, що функція визначена в точці , а її значення є дійсним значенням.

Розглянемо способи, за якими може бути задана функція.

Аналітичний спосіб задання полягає в тому, що задається формула, в якій вказуються ті математичні дії над незалежною змінною, з допомогою яких ми знаходимо відповідне значення залежної змінної . Наприклад,

1. для

2. для ;

3. визначена для ;

4. визначена для .

Відомо, що площа круга визначена для всіх додатних значень радіуса , але якщо розглядати функціональну залежність між величинами і за допомогою формули , то остання визначена на всій дійсній осі . Так само, якщо розглянути довжину стовпчика термометра , де довжина його при , – коефіцієнт лінійного розширення, значення температури. Така функція визначена для всіх значень температур в межах шкали термометра, але якщо розглянути , як функцію, що задається формулою , де незалежною

змінною є , то множиною визначення буде . В загальному випадку, якщо функція дійсної змінної задана деяким аналітичним виразом, то її областю визначення вважається множина її допустимих значень , для яких аналітичний вираз дає для дійсне значення.

Іноді буває, що відповідність між змінними і задається за допомогою кількох формул.

Приклад 1. Відома вже раніше в 1.3 функція

Приклад 2. Поїзд на перегоні між двома станціями рухається за таким режимом: за перші 3 хвилини рух з прискоренням 0,1 , досягнувши швидкості 64,8 ^км/_год, далі рівномірно протягом години з цією швидкістю, і рівносповільнено протягом 3 хвилин до повної зупинки. Швидкість руху буде такою

Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що залежність між і часто задається у вигляді графіка в прямокутній системі координат. Це множина точок з координатами . Іноді графіки функцій можуть бути накреслені за допомогою спеціальних записуючих приладів.

Завдання. Побудувати графіки функцій, наведених у прикладах 1 і 2.

Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що функціональна залежність подається у вигляді таблиці значень. Наприклад, для функції використовують таблицю її значень. В науково-технічних дослідженнях експерементальні дані часто отримують у вигляді таблиць.

Описовий спосіб задання функції. Наприклад, так звана функція Діріхле, заданa на відрізку :

Область її значень складається із двох значень: 0 і 1.

Алгоритмічний спосіб, це коли функція задається у вигляді алгоритма, з наступною реалізацією для роботи на ЕОМ.