Приклади для самостійного розв’язання

Для поданих нижче функцій знайти обернені і побудувати відповідні графіки:

1. .2. .3. .4. .5. .

6. .

Відповіді. 1. .2. .3. .4. .

5. .6. .

2.5 Основні елементарні функції

Розглянемо функції, які називаються основними (простими) елементарними.

І. Степенева функція: .

1. Якщо - натуральне число, то визначена для . В окремих випадках графіки на рис.11.

Рис.11

2. 

   –ціле від’ємне число (див. рис. 12 для = –1, –2).

Рис.12.

визначена для

При –цілому парному графік симетричний відносно вісі , при – цілому непарному графік симетричний відносно

центра .

3. Якщо раціональне число, то визначена для Якщо раціональне, то На рис.13 наведені графіки для

Рис. 13

В загальному випадку функція при довільному дійсному визначена для

ІІ. Показникова функція: (рис. 14)

С

Рис.14

При – зростає, при – спадає.

ІІІ. Логарифмічна функція: є оберненою для функції . При –зростає, при – спадає. Графік логарифмічної функції симетричний відносно бісектриси з графіком відповідної оберненої функції (див. рис. 15).

ІV. Тригонометричні функції:

, (див. рис. 16)

Рис.16

(див. рис.17)

Рис. 17

V. Обернені тригонометричні функції:

(див. рис. 18, 19).

Рис. 18

Рис. 19

(Рис. 20)

Рис. 20

2.6 Елементарні функції

Функції, які утворені із основних елементарних функцій за допомогою застосування скінченного числа раз операцій додавання, віднімання, множення, діленя і функції від функції, називаються елементарними функціями.

Наприклад, функції

елементарними функціями.

Але функція

неелементарна.

До елементарних функцій відносяться, наприклад, многочлени або ще цілі раціональні функції, або поліноми

де сталі числа, що називаються коефіцієнтами,

змінна величина, ціле невід’ємне число – порядок многочлена.

Область визначення .

Дробово раціональні функції – це відношення двох многочленів

Раціональна функція визначена для всіх дійсних , крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.

Основні способи побудування графіків функцій

Нагадаємо деякі способи побудування графіків функції, які розглядались при вивченні елементарної математики:

1. побудова по точках;

2. дій над графіками (додавання, віднімання, множення і ділення графіків);

3. перетворення графіків, яке включає паралельне перенесення, ростягнення або стиснення в заданих напрямках, дзеркальне відображення.

Розглянемо правила простих перетвореннь графіків.

1. Графік функції можна отримати із графіка функціїшляхом паралельного зміщення в напрямку осінаодиниць вверх якщоі вниз, якщо.

2. Графік функції можна отримати із графіка функціїшляхом паралельного зміщення в напрямку осінаодиниць вправо приі вліво при.

3. Із графіка функції можна отримати графік функціїшляхом ростягнення першого ураз в напрямку осіприі стисненням при, де.

4. Графік функції () можна отримати із графікастисненням ураз вздовж осіприі ростягненням при.

5. Графік функції можна отримати із графіка із графіка функціїдзеркальним (симетричним) відображенням відносно осі.

6. Графік функції можна побудувати за допомогою дзеркального (симетричного) відображенням графіка відносно осі.

7. Графік функції можна отримати із графіка функціїтак: та частина графіка функції, яка лежить вище осі, залишається без зміни, а та частина графіка, яка лежить нижче, відображається відносносиметрично вверх (див. параграф 1.3).

8. Графік функції можна отримати із графіка функціїтак: длячастина графіказалишається без зміни, а тоді симетрично відображається відносно осі.