Лабораторна робота №1. Аналіз задач стохастичного програмування.

Короткі теоретичні відомості

Варіанти постановки задачі стохастичного програмування

Математична модель задачі оптимізації включає в себе три елементи:

-функцію мети;

-обмеження;

-граничні умови.

Якщо коефіцієнти с_j в функції мети – випадкові величини, то можливі дві постановки задачі оптимізації:

-максимізація (мінімізація) середнього значення функції мети, яка називається М-постановкою:

M[F]→max(min); (1)

-максимізація ймовірності отримання максимального (мінімального) значення, яка називається Р-постановкою:

Р[F]→max(min). (2)

Якщо випадковими є величини а_ij i b_i, які входять до обмежень, то і-е обмеження

записується так:

, (3)

де _і – задана ймовірність, з якою повинно виконуватись і-е обмеження.

Запис граничних умов може бути виконаний в двох варіантах. Якщо в обмеженні

d_j≤x_j≤D_j (4)

d_j, D_j – детерміновані величини, то обмеження залишаються в такому вигляді. Якщо d_j, D_j – випадкові величини, то обмеження розглядаються як два:

(5)

при цьому кожне з них записується аналогічно (3). Так, x_j≤D_j буде мати вигляд

P[x_j≤D_j]≤_i.

Потрібно сказати, що в практичних задачах граничні умови d_j, D_j випадковими величинами є вкрай рідко, тому їхній запис будемо зберігати у вигляді (4). Об’єднуючи функцію мети, обмеження та граничні умови, можна сформулювати дві постановки задачі стохастичного програмування.

М-постановка

(6)

Р-постановка

(7)

Обидві постановки представляють собою задачі нелінійного програмування.

Розв’язок та аналіз задач в М-постановці

Детермінований еквівалент

Задача стохастичного програмування в М-постановці (6) безпосередньо розв’язана бути не може. Для розв’язку (6) потрібно перейти до її детермінованого еквіваленту. В цьому випадку функція мети записується так:

(8)

Детермінований еквівалент обмежень має наступний вигляд:

(9)

де _і – заданий рівень ймовірності, з якою повинно виконуватися і-е обмеження;

t(_і) – обчислюється за допомогою функції НОРМСТОБР(а_і).

Введемо позначення

(10)

Ця величина залежить від розбігу значень а_ij,b_i.

У випадку детермінованих вихідних даних W_i=0 та (9) буде мати вигляд детермінованої задачі:

(11)

З (9) видно, що в задачі розподілу ресурсів член t(_i)W_i – це величина додаткового ресурсу, який потрібен внаслідок ймовірнісних вихідних даних. Таким чином, при розв’язку задачі будемо користуватись детермінованим еквівалентом:

(12)

Виконання роботи

Підготовка даних

Розв’язок задачі стохастичного програмування (12) будемо розглядати для задачі розподілу ресурсів, яку розв’язували при вивченні лінійного програмування.

Підприємство випускає продукцію за наступними потребами і прибутком:

	Продукт 1	Продукт 2	Продукт 3	Продукт 4	Запас
Трудові	1	1	1	1	4.00
Сировина	6	5	4	3	18.00
фінанси	4	6	10	13	33.00
Прибуток	60	70	120	130

Необхідно скласти програму випуску продукції з метою максимізації прибутку.

При вводі вихідних даних достатньо часто значення σ[a_ij], σ[b_i] бувають невідомими. В цьому випадку можна задати коефіцієнт варіабільності v(x)=σ[x]/M[x] та, знаючи який, визначити

σ[x]=v(x) M[x] (13)

Підготовка даних проводиться по наступному алгоритму.

Алгоритм 1. Введення вихідних даних для детермінованого еквівалента.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1
2	Ім’я	Прод.1	Прод.2	Прод.3	Прод.4
3	значення	1.00	1.00	1.00	1.00
4	нижн.гр.
5	верхн.гр.
6		M[c]				ФМ	напр
7	коеф.в ФМ	60	70	120	130	380	Макс
8		M[a]
9					Детер.лів.частина			M[b]
10	Трудові	1	1	1	1	4.00		16.00
11	Сировина	6	5	4	3	18.00		110.00
12	фінанси	4	6	10	13	33.00		100.00
13			V=0.20							В К15 введено =НОРМСТОБР(К14)
14		σ[a]						σ[b]		=0.80
15	Трудові	0.2	0.2	0.2	0.2			3.2		t()=	0.84
16	Сировина	1.2	1	0.8	0.6			22
17	Фінанси	0.8	1.2	2	2.6			20
18		σ2[a]*x2						σ2[b]	v	t()*v	лів.част.	знак	M[b]
19	Трудові	0.04	0.04	0.04	0.04	0.16		10.24	3.22	2.71	6.71	≤	16
20	Сировина	1.44	1	0.64	0.36	3.44		484	22.08	18.58	36.58	≤	110
21	Фінанси	0.64	1.44	4	6.76	12.84		400	20.32	17.10	50.10	≤	100
22		ή
23	Трудові	0.40
24	Сировина	0.51
25	Фінанси	0.34

Рис.1

	A	B	C	D	E
1
2	Ім’я	Прод.1	Прод.2	Прод.3	Прод.4
3	Значення	1	1	1	1
4	Нижн.гр.
5	Верхн.гр.
6			M	[cj]
7	Коеф.в ФМ	60	70	120	130
8			M	[a]
9
10	Трудові	1	1	1	1
11	Сировина	6	5	4	3
12	Фінанси	4	6	10	13
13			V=	0.2
14			σ	[a]
15	Трудові	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13
16	Сировина	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13
17	Фінанси	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13	=(B10:E12)*D13
18			σ2[a	]*x2
19	Трудові	=(B15^2)*(B$3^2)	=(C15^2)*(B$3^2)	=(D15^2)*(B$3^2)	=(E15^2)*(B$3^2)
20	Сировина	=(B16^2)*(B$3^2)	=(C16^2)*(B$3^2)	=(D16^2)*(B$3^2)	=(E16^2)*(B$3^2)
21	Фінанси	=(B17^2)*(B$3^2)	=(C17^2)*(B$3^2)	=(D17^2)*(B$3^2)	=(E17^2)*(B$3^2)

	F	G	H	I	J	K	L
1
2
3
4
5
6	ФМ	Напр
7	=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B7:E7)	Макс
8
9	Детерм.лыв.частина	M[b]
10	=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B10:E10)	16
11	=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B11:E11)	110
12	=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B12:E12)	100
13
14		σ[b]		=	0.8
15		=(G10:G12)*D13		t()	=НОРМСТОБР(J14)
16		=(G10:G12)*D13
17		=(G10:G12)*D13
18		σ2[b]	W	t()*W	Ліва частина	знак	M[b]
19	=СУММ(В19:Е19)	=G15^2	=КОРЕНЬ(СУММ(F19;G19))	=H19*J$15	=F10+I19	≤	16
20	=СУММ(В20:Е20)	=G16^2	=КОРЕНЬ(СУММ(F20;G20))	=H20*J$15	=F11+I20	≤	110
21	=СУММ(В121:Е21)	=G17^2	=КОРЕНЬ(СУММ(F21;G21))	=H21*J$15	=F12+I21	≤	100

Рис.2.

1.Ввести:

• M[c_j] в В7:Е7,

• M[a_ij] в В10:Е12,

• M[b_i] в Н10:Н12,

скопіювавши їх з детермінованої задачі.

2.Задатись значенням v, яке введене в D13.

3.Визначити значення σ[a_ij]:

• Курсор в В15.

• Виділити В15:Е17.

• Ввести =(В10:Е12)*D13.

• <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

На екрані: в В15:Е17 введені значення σ[a_ij].

4.Визначити значення σ[b_i]:

• Курсор в Н15.

• Виділити Н15:Н17.

• Ввести =(H10:H12)*D13.

• <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

На екрані: в Н15:Н17 введені значення σ[b_i].

Очевидно, що якщо конкретні значення σ[a_ij], σ[b_i] відомі, то їх можна вводити безпосередньо. Після того, як вихідні дані зформовані, потрібно перейти до формування детермінованого еквівалента.

Алгоритм 2. Формування детермінованого еквівалента.

1.Ввести функцію мети:

• Курсор в F7.

• Мастер функций, Математические, СУММПРОИЗВ.

• Ввести аргументи функції СУММПРОИЗВ: В3:Е3; В7:Е7.

2.Ввести , для цього зкопіювати F7 в F10:F12.

3.Ввести значення σ²[a_ij]x_i²:

• Курсор в В19.

• Ввести В19=(B15^2)*(B$3^2).

• Зкопіювати В19 в В19:Е21.

4.Ввести значення σ²[b_i]:

• Курсор в Н19.

• Ввести Н19=Н15^2.

• Зкопіювати Н19 в Н20:Н21.

5.Ввести :

В F19 ввести СУММ(В19:Е19).

• Зкопіювати F19 в F20:F21.

• Курсор в І19.

• Ввести =КОРЕНЬ(СУММ(F19;H19)).

• Зкопіювати І19 в І20:І21.

6.Прийняти значення _і.

Приймаємо для всіх обмежень однакові =0.8 та вводимо їх в К14.

При цьому в К15 ввести НОРМСТОБР(К14).

7.Обчислити стохастичну складову t()W_i:

• Курсор в J19.

• Ввести J19=I19*K15.

• Зкопіювати J19 в J20:J21.

8.В І19:J21 призначити точність представлення результатів 2 знаки після коми.

9.Ввести ліві частини обмежень:

• Курсор в К19.

• Ввести K19=F10+J19.

• Зкопіювати К19 в К20:К21.

10.Для зручності роботи зкопіювати Н19:Н21 в М18:М21.