- •VI. Теореми про диференційовні функції
- •6.1. Теорема Ролля
- •6.2. Теорема Коші
- •6.3. Теорема Лагранжа
- •6.4. Правило Лопіталя
- •Приклади
- •Розв’язання
- •VII. Дослідження функцій
- •7.1. Зростання і спадання функцій
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язання.
- •Приклади.
- •Розв’язання
- •7.3. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •Приклади для самостійного розв’язання.
- •7.4. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •7.5. Асимптоти графіка функції
- •Приклади для самостійного розв’язання. Знайти асимптоти кривих
- •7.6. Загальна схема дослідження функцій
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •Контрольні завдання
- •Вказівки до розв’язування задач
- •До задачі 10
- •До задачі 11
Вказівки до розв’язування задач
типового варіанту
До задачі 1
Варіант 0.
Число x = -1 - корінь чисельника і знаменника. Щоб усунути невизначеність необхідно чисельник і знаменник розкласти на множники. Для квадратного тричлена відомо, що
Многочлен ділиться на різницю
Тому маємо
Визначити старші члени в чисельнику та знаменнику. Відп.:
Маємо невизначеність
Перетворивши за допомогою тотожності Далі необхідно користати- сяеквівалентними Відп.:
До задачі 2
Розв’язання. Функція не існує в точціx0 = -1.Легко з’ясувати, що (x - 2)/(x + 1) — додатня н. в. при а при— від’ємна н. в. Тому
Оскільки f (x) неперервна (при x < -1 і при x > -1) і ,тоЕскіз графіка див. нарис.
До задачі 3.
Варіант 0.
Розв’язання.Похідною алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума похідних, тобто:
Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій та формули знаходимо:
Після скорочення і розкриття дужок остаточно отримуємо:
2.
Розв’язання.За правилом диференціювання маємо:
3.
Розв’язання.Для знаходження похідної скористуємось правилом логарифмічного диференціювання.
Спочатку прологарифмуємо функцію за натуральним логарифмом:
Тому що ln y - складна функція, то
До задачі 4.
Варіант 0:
Розв’язання.Використовуючи формулу диференціала функції:
За формулою диференціала
Тоді
До задачі 5.
Варіант 0: Обчислити наближено.
Розв’язання.Покладемо
Тоді за формулою
запишемо
.
До задачі 6.
Варіант 0: Знайти
.
Розв’язання.Спочатку знаходимо першу похідну
а тоді другу похідну
До задачі 7.
Варіант 0: Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, яка відповідає значенню параметра .
Розв’язання.Рівняння дотичної має вигляд:
Похідну функції, заданої параметрично знаходимо за формулою
Тепер рівняння дотичної матиме вигляд:
До задачі 8.
Варіант 0. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично.
Розв’язання.За правилом диференціювання функції, заданої параметрично маємо:
До задачі 9.
Варіант 0. 1. Дослідити функцію і побудовати графік
Розв’язання.Знайдемо проміжки зростання та спадання функції.
Дана функція має похідну
.
Тепер знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю,
Ці точки розбивають числову вісь на три інтервали
.
Досліджуємо знак похідної на кожному з інтервалів:
Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (-1,-2) функція спадає. Це означає, що точка- точка мінімума,; - точка максимума, . Зау Знаходимо важимо, що
.
Знаходимо
Точка є точкою перегину.
y
6
2,5
-2 -1 0
х
2. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Функція визначена та неперервна в інтервалах
Функція невизначена в точці х = 1.
Знайдемо границі:
Точки перетину графіка з віссю Х:
Знайдемо асимптоти графіка функції:
а) х=1 - вертикальна асимптота
б)
Горизонтальних асимптот немає.
в)
Перевіримо функцію на парність:
Умови не виконуються.
Функція є ні парною, ні непарною.
Знайдемо першу похідну.
Знаходимо точки, в яких похідна дорівнює нулю,
. Ці точки розбивають вісь Х на інтервали . Дослідимо знак похідної на кажному з них :
Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (0,2) функція спадає; точка- точка мінімума,; - точка максимума, .
Знайдемо другу похідну
Похідна
Таким чином графік функції опуклий для при і угнутий для.
Будуємо на площині X0Y отримані характерні точки: точки перетину з осями , вертикальну асимптоту х=0, похилу асимптоту , точки екстремума. Будуємо графік функції.
Y
9
3
1
-1,5
-1
0 1 2
X