Приклади для самостійного розв’язання. Знайти асимптоти кривих

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.

Відповіді: 1. -ліва похила асимптота.

2. - горизонтальна асимптота.

3. - вертикальна асимптота.

4. . 5.. 6.

7.. 8..

9..

7.6. Загальна схема дослідження функцій

Нехай задана функція y=f(x). Необхідно її дослідити і на основі отриманих результатів побудувати її графік.

Схема дослідження функцій.

1. Знаходимо область визначення функції. Якщо f(x) не існує в окремих точках, напр. х=х₀, то рекомендується знайти Якщо якась із цих границь нескінченість, тох=х₀ – вертикальна асимптота. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат.

2. Знаходимо похилі асимптоти.

3. Перевіряємо функцію на парність, непарність, періодичність.

Якщо f(–x)=f(x) – парна функція, то графік її симетричний відносно вісі ОY. Якщо ж функція непарна f(–x)= – f(x), то графік має центральну симетрію відносно точки О(0,0).

4. За допомогою першої похідної f(x) знаходимо інтервали, на яких f(x) зростає або спадає. Знаходимо екстремуми.

5. За допомогою другої похідної (х) знаходимо інтервали опуклості, угнутості, точки перегину графіка.

6. Будуємо на площині отримані характерні точки: точки перетину з осями, точки екстремумів, точки перегину. Будуємо асимптоти. І, накінець, будуємо графік функції.

Приклади дослідження функцій див. “Вказівки до розв’язування задач типового варіанту”, варіант “0”, задача 9.

Приклади для самостійного розв’язання

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6..
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12..

Відповіді: 1. Область визначення ; ; для - опуклість; для - угнутість; - точка перегину; асимптот – немає.

2. - обл. визнач.; ; ; `- точки перегину; для - угнутість; для - опуклість; асимптот – немає.

3.- обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; - асимптота.

4. - обл. визнач.; ; -

т. перегину; для - угнутість; для - опуклість; - асимптота.

5. - обл. визнач.;

; для - угнутість; для - опуклість; - асимптота; - асимптоти.

6. - обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; асимптот - немає.

7. - обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; - вертик асимптота; - похила асимптота.

8. - обл. визнач.; ; - т. перегину; - асимптоти.

9. - обл. визнач.; ; - т. перегину; - асимптота.

10. - обл. визнач.; ; для - опуклість; для - угнутість; ,- асимптоти.

11. - обл. визнач.; ; - т. перегину.

12. - обл. визнач.; екстремумів - немає; - т. перегину.

Контрольні завдання

Задача 1.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

Задача 2. Функція визначена на множині дійсних чисел за винятком деякої точки х₀ (основа і показникподані за варіантами 1-30). Необхідно:

а) знайти точку х₀;

б) обчислити границі функції при;

в) використовуючи ці границі, побудувати ескіз графіка функції .

Для контролю обчислити значення в декількох точках зліва і справа від х₀ (наприклад в точках ,,,,,або інших) і перевірити відповідність цих значень графіку. На графікудодатково побудувати прямі

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.	5 4 3 2 6 5 4 3 6 2 5 4 4 6 2	x / (4x-1) -x / (1+2x) (1 + x) / (3x - 1) (1 + x) / (2 - 2x) x / (1 + 3x) (1 + x) / (2x + 1) x / (4x + 1) (x - 1) / (2x + 2) x / (6 + 4x) (2 - x) / (1 + 2x) x / (4x - 2) x / (2x - 1) x / (2 + 6x) x / (1 - 2x) (x - 1) / (2x + 4)	16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.	3 5 3 6 2 4 2 3 6 5 4 5 3 6 2	(x - 1) / (1 + 2x) x / (3x + 6) (x + 3) / (3 + 2x) x / (3x - 1) (1 - x) / (2x + 2) x / (3x - 6) (1 + x) / (1 - 2x) (x - 2) / (4x + 4) x / (3 - 2x) x / (6x - 2) (x - 1) / (2x - 1) x / (4x - 8) (x + 2) / (2x - 2) x / (4x - 3) 2x / (3 + 4x)

Задача 3. Знайти похідні функцій.

Задача 4.Знайти диференціал dy функції:

Задача 5. Обчислити наближено за допомогою диференціала.

Задача 6. Знайти похідну другого порядку функції.

Задача 7. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, яка відповідає значенню параметра .

19.

Задача 8. Знайти похідну другого порядку функції, заданої

параметрично.

Задача 9. Провести повне дослідження функцій та побудувати їх

графіки

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Задача 10. Знайти найбільше та найменше значення функції

на заданих відрізках.

Задача 11.

1. Полотняне шатро об’єму має форму прямого кругового конуса. Яким повино бути відношення висоти конуса до діаметра, щоб на виготовлення шатра пішла найменша кількість полотна?

2. Із полоси жерсті шириною 11 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 7 см. Якою повинна бути ширина жолоба зверху, щоб він вміщував найбільшу кількість води?

3. Із полоси жерсті шириною 20 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 10 см. Яким повинен бути кут між стінками жолоба і дном, щоб він вміщував найбільшу кількість води?

4. Поперечний переріз відкритого канала має форму рівнобдренної трапеції . При якому нахилі боків “мокрий периметр” перетину буде найменшим, якщо площа “живого перетину” води в каналі дорівнює S, а рівень води дорівнює h?

5. Знайти відношення радіуса циліндра до його висоти, при якому циліндр заданого об’єму V має найменшу площу повної поверхні.

6. Відкрита посудина, що має форму циліндра, який закінчується знизу півсферою, вміщує 18 л води. Знайти розміри посудини при яких на її виготовлення піде найменша кількість матеріалу.

7. Добовий розхід при плаванні судна складається з двох частин: сталої, що дорівнює а грошових одиниць і змінної, що зростає пропорціонально кубові швидкості. При якій швидкості V плавання судна, буде найбільш економним?

8. Із листового заліза виготовлено відкритий бак циліндричної форми об’єму з найменшими затратами матеріалу. Які розміри бака?

9. Енергія, яка витрачається за одиницю часу на рух парохода, пропорціональна кубові його швидкості, яку розвиває двигун в стоячій воді. Знайти найбільш економну швидкість руху парохода, якщо необхідно пройти задану відстань S проти течії, швидкість якої дорівнює 6 ^км/_год.

10. В трикутнику одна сторона а, а протилежний їй кут . Визначити два інші кути так, щоб площа його була найбільшою.

11. Одна із сторін трикутника дорівнює а , а його периметр 2р . Визначити дві інші сторони за умови, щоб площа його була найбільшою.

12. На сторінці книги друкований текст (разом з проміжками між рядками) повинен займати 216 см². Верхні і нижні поля повинні бути по 3 см, праве і ліве поля по 2 см. Якими повинні бути розміри сторінки для того, щоб її площа була найменшою?

13. Визначити максимальну площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює l.

14. Всі вершини правильної трикутної призми належать сфері радіуса R. Якою повинна бути висота призми, щоб її об’єм був найбільшим? Знайти цей об’єм.

15. Прямокутна площадка, яка стикується однією із сторін з довгою кам’яною стіною, з трьох сторін огорожена залізною решіткою. Якою повинна бути довжина сторін площадки, щоб вона мала найбільшу площу, якщо є 200 м решітки?

16. Консервна коробка об’єму V повинна мати циліндричну форму з дном і покришкою. Яким повинно бути відношення діаметра циліндра до висоти, щоб на виготовлення коробки пішла найменша кількість матеріалів.

17. Прямокутник вписано в прямокутний трикутник так, що один із кутів прямокутника співпадає з прямим кутом трикутника. Катети трикутника дорівнюють 4 і 8 см. Якими повинні бути розміри прямокутника, щоб площа його була найбільшою?

18. Знайти радіус основи і висоту конуса найменшого об’єму , описаного навколо кулі радіуса R.

19. Вікно має форму прямокутника, який завершується півкругом. Периметр вікна дорівнює а. При яких розмірах сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла?

20. Необхідно виготовити відкритий циліндричний бак заданого об’єму V. Вартість квадратного метра матеріалу, що йде на виготовлення дна бака, дорівнює р грошових одиниць, а стінок– q грошових одиниць. Якими повинні бути радіус дна і висота бака, щоб вартість затрат на матеріали для його виготовлення була найменшою?

21. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює . Якими повинні бути катети, щоб периметр трикутника був найбільшим?

22. Прямокутний трикутник, обертаючись навколо одного з його катетів, утворює прямий конус. Знайти об’єм найбільшого з них, якщо гіпотенуза дорівнює 9 см.

23. Вертикальна цистерна об’єма V має форму циліндра, який завершується півкулею. При яких лінійних розмірах на виготовлення такої цистерни піде найменша кількість матеріалу.

24. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса з найменшою бічною поверхнею, описаного навколо кулі радіуса R.

25. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 2р. Якими повинні бути його сторони, щоб об’єм тіла, утвореного обертанням цього трикутника навколо основи, був найбільшим?

26. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об’єм піраміди буде максимальним. Знайти цей об’єм.

27. Дані точки А(0,3) і В(4,5). На вісі ОХ знайти таку точку М , щоб відстань S=AM+MB була найбільшою.

28. В кулю радіуса R виписати циліндр, який має найбільшу бічну поверхню.

29. Знайти висоту циліндра максимального об’єму , вписаного в даний прямий круговий конус.

30. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об’єм піраміди максимальний? Знайти цей об’єм.