Розв’язання

6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну

, якщо .

Отже, - зростає і, тобто для. Геометрично, якщо побудувати графікиі, то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точцівони дотикаються.

7. Знайдемо похідну для допоміжної функції ,для. Функціязростає для. У точці, а внаслідок зростання, якщо.

8. Розглянемо допоміжну функцію ,, якщо, оскільки(див. приклад 6). Функція- спадна, тобто меншому значенню аргументавідповідає більше значення функції

.

9. .

,

якщо . Функціязростає, в точці. Отже, для, тобто

при .

Приклади для самостійного розв’язання.

Визначити проміжки монотонності функцій

1. . 2..

3. . 4..

5. . 6..

7. . 8..

9.

Довести нерівності

10. , якщо.

11. .

12. .

13. .

Відповіді. 1.;.

2. ,якщо , якщо,. 3.,,,. 4.,,і т. д. 5..

6. . 7.. 8..

9. .

7.2. Максимуми і мінімуми функції

Означення 1. Функція y=f(x) має максимум в точці х₀, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто

(х)(х₀).

Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х₁, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто

(х)(х₁).

f(x₂)=y_max

Y f(x₀)=y_max

f(x₃)=y_min

f(x₁)=y_min

x₀ x₁ x₂ x₃ X

рис.42

Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.

Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.

Наприклад. На рисунку 42 точки x₀,x₁,x₂,x₃ – критичні точки.

Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х₀, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто х₀=.

Наприклад. На рис.1 (х₀)=(х₁)=(х₂)=0.

Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43

Y

(х₀)=0 y=f(x)

0 x₀ X

рис.43

Точки в яких (х₀)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.

Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де (х₀)=0, також серед точок, в яких похідна (х) не існує. Наприклад в точці х₃ (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х₃ – не існує.

Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=(х):

1. неперервна при х=х₀;

2. має похідну (х₀) в деякому околі точки х₀, за винятком, можливо, самої цієї точки;

3. похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х₀.

Тоді, якщо при переході через точку х₀ (зліва направо)

а) (х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х₀ маємо максимум;

б) (х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х₀ маємо мінімум;

в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х₀ екстремуму не має.

Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=(х) в точці х=х₀ має першу і другу похідну, причому (х₀)=0, а (х₀)0, і (х) неперервна в околі точки х=х₀, то в точці х=х₀ у=(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо (х₀)<0, і мінімум, якщо (х₀)>0.

Див., напр., рис. 44

Y

x₀ x₁ X

рис.44

Скорочено маємо:

Можуть зустрічатись випадки, коли (х₀)=0 і (х₀)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.

Теорема 4. Якщо функція у=(х) має в околі точки х=х₀ неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо

в той час як f⁽ⁿ⁾(x₀)0, то при n парному функція має максимум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, i мінімум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)>0; якщо n – непарне, то функція екстремума в точці х=х₀ не має.