Изменение координатного столбца при переходе от базиса к базису
Пусть e = (e1 , … , en) и f = (f1 , … , fn) – два базиса векторного пространства V, v V. Тогда v = e[v]e = v = f[v]f . Выясним, как связаны координатные столбцы [v]e и [v]f .
Имеем f = eTe,f и e[v]e = v = f[v]f = (eTe,f)[v]f = e(Te,f [v]f ), т.е.
.
Пример.
Пусть V
– трёхмерное векторное пространство
с базисом
e
= (e1
, e2
, e3),
v
V
и [v]e
=
.
Найти [v]f
, где f
= (e1
+ e2
, e3
, e1).
[v]f
= Tf,
e[v]e
= Te,f–1[v]e
=
.
§ 4. Матрица линейного оператора
Пусть V – векторное пространство с базисом e = (e1 , … , en), : V V – линейный оператор. Обозначим через (e) конечную систему векторов ((e1), … , (en)) V n. Каждый вектор (ej) (1 j n) к.с.в. (e) однозначно записывается в виде (ej) = e[(ej)]e и из полученных координатных столбцов можно образовать матрицу []e = ([(e1)]e , … , [(e1)]e ) M(n, F), которая называется матрицей линейного оператора в базисе e и удовлетворяет равенству (e) = e[]e .
Примеры:
1. Пусть
линейный оператор
: V
V
переводит базис e
= (e1
, e2
, e3)
трёхмерного
векторного пространства V
в систему векторов (e2
+ e3
, e1
– e2
, e1
+ e3).
Тогда [(e1)]e
=
, [(e2)]e
=
, [(e3)]e
=
, и
[]e
=
.
2. Пусть V = R3, : R3 R3 , (x; y; z) = (x – y; y + z; x). Найдём матрицу []e в базисе e = (e1 = (1; 1; 0), e2 = (0; 1; 1), e3 = (0; 0; 1)).
Имеем (e1) = (1; 1; 0) = (0; 1; 1), (e2) = (0; 1; 1) = (–1; 2; 0), (e3) = = (0; 0; 1) = (0; 1; 0). Искомая матрица линейного оператора состоит из координатных столбцов полученных векторов. Поэтому получается матричное уравнение
(e1t
, e2t
, e3t)[]e
= ((e1)t,
(e2)t,
(e3)t)
или
[]e
=
.
Значит
[]e
=
.
3. Матрица линейного оператора : F n F n в базисе e = (e1 , … , en) находится из матричного уравнения (e1t , … , ent)[]e = ((e1) t , … , (en) t).
4. Матрица линейного оператора : nF nF в базисе e = (e1 , … , en) находится из матричного уравнения (e1 , … , en)[]e = ((e1) , … , (en)).
Координатная форма записи линейного оператора
Пусть V – векторное пространство над полем F с базисом e = (e1 , … , en), : V V – линейный оператор, x V. Найдём связь между координатными столбцами [x]e и [(x)]e .
Пример.
Пусть F
– поле, V
= n F,
A
M(n, F). Тогда
отображение m
: n F
n F,
заданное правилом
x
n F
m(x)
= Ax
, является линейным оператором, причём
для стандартного базиса e
= (e1t
, … , ent)
в n F,
где
ei
= (0; … ;
0;
,
0; … ; 0), имеем
[x]e
= x
и m(x)]e
= [Ax]e
= Ax
= [m]e
. Таким
образом,
x
n F
[m(x)]e
= [m]e[x]e
.
Оказывается, что аналогичная формула имеет место и в общем случае. Для её вывода понадобится следующее свойство линейных операторов:
Свойство согласованности матричного умножения с действием линейного оператора: Пусть V – векторное пространство над полем F, : V V – линейный оператор. Тогда для любой к.с.в v = (v1 , … , vn) Vn и матрицы T M(n, m, F) справедливо равенство (vT) = (v)T.
Действительно,
если t(j)
=
– j-й столбец
матрицы T
(1
j
m),
то
vt(j) = t1jv1+ … +tnjvn , (vt(j)) = (t1jv1+ … +tnjvn) =
= t1j(v1)+ … +tnj(vn) = (v)t(j).
Таким образом, (vT) = (v1t(1), … , vnt(m)) = ((vt(1)), … , (vt(m))) = = ((v)t(1), … , (v)t(m)) = (v)T, что и требовалось доказать.
Теперь вывод общей формулы прост: если x = e[x]e , то
e[(x)]e = (x) = (e[x]e ) = (e)[x]e = e[]e[x]e ,
так что [(x)]e = []e[x]e .
Доказанная формула [(x)]e = []e·[x]e называется координатной формой записи линейного оператора в базисе e.