- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава III. Евклидовы пространства
- •§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства
- •Свойства скалярного произведения
- •§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах
- •Свойства длины в евклидовых пространствах
- •§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
- •§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств
- •Глава IV. Теория линейных операторов в векторных пространствах
- •§ 1. Определение и простейшие свойства
- •Простейшие свойства линейных операторов
- •§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах
- •Простейшие свойства матричного формализма
- •§ 3. Матрица перехода от базиса к базису
- •Свойства матрицы перехода
- •Изменение координатного столбца при переходе от базиса к базису
- •§ 4. Матрица линейного оператора
- •Координатная форма записи линейного оператора
- •Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису
- •Свойства матрицы линейного оператора
- •§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора
- •§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора
- •§ 7. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи
- •§ 9. Post Scriptum : о подобии матриц
- •§ 10. Спектр симметричного оператора Ортогональные дополнения подпространств евклидова пространства
- •Симметричные линейные операторы
- •Глава V. Дифференцирования в банаховых пространствах
- •§ 1. Метрические пространства
- •Матричные нормы
§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
Пусть V – конечномерное евклидово пространство, e = (e1 , … , en) – конечная система векторов в V. Система e называется ортогональной, если (ei , ej) = 0 при i j. Если в дополнение к этому длины всех векторов системы e равны 1, то она называется ортонормированной.
Замечание. Если n = 1, то условие ортогональности не требует ничего, а для ортонормированности необходимо и достаточно, чтобы |e1| = 1.
Примеры: 1. Пусть V = R3 – стандартное евклидово пространство. Тогда система векторов ((1; –1; 0), (1; 1; 0), (0; 0; 1)) является ортогональным, но не ортонормированным базисом, а система векторов
((; –; 0), (;; 0), (0; 0; 1))
является ортонормированным базисом пространства V.
2. Стандартный базис стандартного евклидова пространства ортонормирован.
Замечание. Если базис e = (e1 , … , en ) векторного пространства V ортогонален, то система векторов f = {fi = ei | 1 i n } является ортонормированным базисом .
В самом деле, система f = (f1 , … , fn) эквивалентна системе e (т.к. каждый её вектор получен умножением соответствующего вектора системы e на ненулевой скаляр). Поэтому f – базис. Кроме того,
(fi , fj) = (ei , ej ) = (ei , ej ) = .
Таким образом, система f ортогональна и |fi| = 1 (1 i n), что и требовалось.
Теорема (об ортонормированном базисе). Ненулевое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.
Доказательство. Пусть V – ненулевое n-мерное евклидово пространство с базисом e = (e1 , … , en). Проведем индукцию по числу n.
Если n = 1, то f = () – искомый ортонормированный базис.
Предположим, что евклидово пространство с базисом (e2 , … , en) и тем же скалярным произведением, что и V, обладает ортонормированным базисом (f2 , … , fn). Найдём ортонормированный базис для V. Для этого рассмотрим вектор g = e1 – (e1 , f2)f2 – … – (e1 , fn)fn . Тогда
(g , fi ) = (e1 – , fi ) = (e1 , fi) – =
= (e1 , fi )–(e1 , fi ) = 0,
т.к. (fk , fi ) = ki – символ Кронекера (величина, равная 0 при k i и 1 – при k = i). Итак, система векторов (g , f2 , … , fn) ортогональна и эквивалентна системе (e1 , f2 , … , fn) – базису пространства V (?!), т.е. является ортогональным базисом V. Осталось заменить g на f1 = .
Теорема доказана.
Пример. Найти ортонормированный базис пространства, порожденного в R4 векторами e1 = (0; 1; 0; –1), e2 = (1; –1; 1; 0), e3 = (1; 0; 0; 1) (скалярное произведение в R4 предполагается стандартным).
Последовательно строим ортонормированный базис, как при доказательстве теоремы. Полагаем f3 = e3 = (1, 0, 0, 1) и g = e2 – (e2 , f3 )f3 = = (1; –1; 1; 0) – (1; 0; 0; 1) = (; –1; 1; –). Тогда (g , f3 ) = 0, и можно положить f2 = =g = (; –1; 1; –). Теперь (f2 , f3) – ортонормированная система векторов, эквивалентная (e2 , e3).
Точно так же, полагаем далее
g = e1 – (e1 , f2 )f2 – (e1 , f3 )f3 =
= (0; 1; 0; –1) – ( ; –1; 1; – ) – (1; 0; 0; 1) =
= (0; 1; 0; –1) + (; –1; 1; –) +(1; 0; 0; 1) = (;;; –).
Система (g , f2 , f3 ) ортогональна и, значит, можно взять
f1 = =(3; 4; 1; –3).
Ответ: (3; 4; 1; –3), (; –1; 1; –), (1; 0; 0; 1).
Описанный в теореме процесс построения ортогонального базиса, проиллюстрированный примером, называется процессом ортогонализации заданной системы векторов.
Упражнение. Проведите процесс ортогонализации векторов
(1; 2; 0; 0), (0; 2; 1; 0), (0; 0; 1; 2), (0; 0; 2; 1)
в стандартном евклидовом пространстве R4.