§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства (V₁ , (_ , _)₁) и (V₂ , (_ , _)₂) называются изоморфными, если существует изоморфизм h : V₁  V₂ векторных пространств, сохраняющий скалярное произведение:

 u , v V₁ (u , v)₁ = (h(u), h(v))₂ .

Упражнение. Приведите пример изоморфизма векторных пространств h : R²  R², не являющегося изоморфизмом евклидовых пространств

(R², (u , v)₁ = u₁v₁ + u₂v₂), (R², (u ,v)₂ = u₁v₁ + 3u₂v₂).

Теорема (об изоморфизме евклидовых пространств). Два конечномерных евклидовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когда одинаковы их размерности (т.е. когда они изоморфны как обычные векторные пространства без скалярного произведения).

Доказательство. Так как изоморфизм евклидовых пространств является изоморфизмом просто векторных пространств, то совпадение размерностей изоморфных евклидовых пространств следует из теоремы об изоморфизме векторных пространств.

Докажем теперь изоморфизм евклидовых пространств (V₁ , (_ , _)₁) и (V₂ , (_ , _)₂) при условии dim V₁ = n = dim V₂ . Если n = 0, то доказывать нечего (?!). Пусть n > 0, e = (e₁ , … , e_n ) и f = (f₁ , … , f_n ) – некоторые ортонормированные базисы пространств V₁ и V₂ соответственно. Зададим функцию h : V₁  V₂ по правилу: если u = e[u]_e , то h(u) = f[u]_e (т.е. h переводит любой вектор пространства V₁ в вектор с теми же координатами из пространства V₂ ).

Так как координатный столбец [u]_e определён однозначно, то h – всюду определенная на V₁ функция, т.е. – отображение.

Она аддитивна: h(u + v) = f[u + v]_e = f([u]_e.+[v]_e.) = f[u]_e + f[v]_e. = = h(u) + h(v) и однородна: h(u) = f[u]_e = f[u]_e = f[u]_e = h(u), т.е. является гомоморфизмом векторных пространств.

Кроме того, h переводит базис e в базис f и поэтому (как было доказано ранее) является изоморфизмом векторных пространств. Наконец, учитывая ортонормированность выбранных базисов e и f , а также свойство 6⁰ скалярного произведения, получаем:

(u , v)₁ = ([u]_e)[v]_e = ([h(u)]_f)[h(v)]_f = (h(u), h(v))₂ .

Теорема доказана.

Глава IV. Теория линейных операторов в векторных пространствах

§ 1. Определение и простейшие свойства

Пусть (V , +, { |   F} ) и (W ,  , { |   F} ) – два векторных пространства над одним и тем же полем F. Любой гомоморфизм векторных пространств  : V  W называют линейным оператором из (векторного пространства) V в (векторное пространство) W. Таким образом,  – линейный оператор, если он сохраняет операции сложения и умножения на скаляры, т.е. одновременно выполнены следующие условия:

(А):  u, v  V (u+v) = (u) (v) (условие аддитивности),

(О):    F  v  V (v) =   (v) (условие однородности).

Инъективный линейный оператор называется вложением (векторных пространств) или мономорфизмом, сюръективный – наложением или эпиморфизмом, а биективный гомоморфизм – изоморфизмом (векторных пространств). Если V = W, то линейный оператор  : V  V называют эндоморфизмом (векторного пространства V), а изоморфизм  : V  V – автоморфизмом (векторного пространства V).

Примеры: 1. Пусть  : R²  R² задано правилом (x; y) = (x – y; –2x). Докажем, что  изоморфизм векторных пространств. Вначале проверим гомоморфность:

(А):  u, v  R² (u+v) = (u) + (v)

Пусть u = (a; b), v = (c; d)  R². Тогда u + v = (a+c; b+d), (u+v) = = (a + c; b + d) = ((a + c)–(b + d); –2(a + c)) = (a – b; –2a) + (c – d; –2c) = = (a, b) + (c, d) = (u)+(v).

(O):    F  v  R² (v) = (v)

Пусть u = (a; b)  R²,   F. Тогда u = (a; b), (u) = (a;b) = = (a – b; –2a) = (a – b; –2a) = (u).

Итак,  – гомоморфизм векторных пространств. Выясним, к какому виду гомоморфизмов относится . Для этого проверим условия инъективности и сюръективности.

Инъективность:  u, v  R² (u) = (v)  u = v

Пусть u = (a; b), v = (c; d)  R² и (u) = (v), т.е. (a – b; –2a) = = (c – d; –2c) . Ясно, что тогда a = c и b = d, т.е. u = v. Значит  – вложение векторных пространств.

Сюръективность: Im() = R², т.е. v  R²  v  R² v = (u)

Пусть v = (c; d)  R² . Тогда

v = (c; d) = =  Im().

Значит  – эпиморфизм векторных пространств.

Итак,  – изоморфизм векторных пространств.

2. Пусть F – поле, V = ⁿ F, A  M(n, F). Тогда отображение m : ⁿ F  ⁿ F, заданное правилом  x  ⁿ F m(x) = Ax является линейным оператором (?!).

3. Если (V, +, { |   F}) – любое векторное пространство, а W = {0} – нулевое векторное пространство с естественными тривиальными операциями 0  0 = 0,    F   0 = 0, то отображение 0 : V  W , заданное правилом  v  V 0(v) = 0 будет эпиморфизмом векторных пространств (?!).

4. Если (V, +, { |   F}) – любое векторное пространство, а W – его подпространство, то тождественное отображение i: W  V, определённое правилом  w  W i(w) = w является вложением (?!).

5. Отображение  : R²  R², заданное правилом (x; y) = (x + 1; 0) не является линейным оператором, т.к. не удовлетворяет условию аддитивности (?!).

6. Отображение  : R₊  R, заданное правилом (x) = не является линейным оператором, т.к. нарушено условие однородности (?!).

7. Пусть V = V₂(O, R),  : V  V поворачивает любой вектор a  V на фиксированный угол  против часовой стрелки вокруг т. О (см. рис. 1).

Ясно, что функция  всюду определена на V. Её аддитивность наглядна: если a, b  V, то их сумма вычисляется по правилу параллелограмма (см. рис. 2). Под действием  весь этот параллелограмм повернётся на угол  , т.е. (a + b) = (a) + (b). Аналогично проверяется свойство однородности. Таким образом, поворот на фиксированный угол  вокруг т. О является эндоморфизмом векторного пространства V₂(O, R). На самом деле отображение  взаимно однозначно (?!), так что  – автоморфизм.

8. Проверьте самостоятельно, что линейным оператором в V₂(O, R) будет и проектирование векторов на фиксированную прямую l, проходящую через т. О, параллельно заданной пересекающей l прямой m. Будет ли этот линейный оператор автоморфизмом ?