Простейшие свойства линейных операторов
Всюду в дальнейшем (V , +, { | F} ) и (W , , { | F} ) – два векторных пространства над одним и тем же полем F, : V W – линейный оператор.
10. n N v1 , … , vn V 1 , … , n F
(1v1+…+nvn)=1(v1)…n(vn)
Это доказывается индукцией по n, используя условия линейности и однородности.
20. (0V) = 0W
Действительно, ввиду свойства аддитивности имеем
(0V) + (0V) = (0V+0V) =(0V) = (0V) + 0W ,
откуда, сокращая обе части на (0V) в группе (W, +), получим требуемое равенство.
30.
v
V
(–v)
=
(v)
В самом деле, по условию аддитивности имеем
(v) (–v) = (–v) (v) = (0V) = 0W .
40. Если : V W – мономорфизм, а u = (u1 , … , un) – линейно независимая система векторов векторного пространства V , то система векторов (u) = ((u1) , … , (un)) является линейно независимой в пространстве W.
Действительно, если 1(u1)…n(un) = 0W , то
(1u1+…+nun) = 1(u1)…n(un) = 0W = (0V),
откуда (ввиду инъективности ) получаем 1u1+…+nun = 0V . Значит по условию 1 = … = n = 0, что и требовалось доказать.
50. Если : V W – эпиморфизм, а u = (u1 , … , un) – система порождающих векторного пространства V , то (u) = ((u1) , … , (un)) является системой порождающих векторного пространства W.
В самом деле, для любого w W найдётся (ввиду сюръективности ) вектор v = 1u1+…+nun V со свойством w = (v) = (1u1+…+nun) = = 1(u1)…n(un), что и требовалось.
60. Любой изоморфизм векторных пространств отображает линейно независимые системы векторов в линейно независимые, а системы порождающих – в системы порождающих. В частности любой изоморфизм векторных пространств отображает базисы одного пространства в базисы другого.
Следует из 40 и 50.
70. Пусть : V W и : V W – два линейных оператора и дан базис e = (e1 , … , en) векторного пространства V. Если (ei) = (ei) (1 i n), то = . Другими словами, линейный оператор полностью определяется значениями на базисных векторах.
Если v = 1e1 + … + nen V, то
(v) = (1e1 + … + nen) = 1(e1) + … + n(en) =
= 1(e1) + … + n(en) = (1e1 + … + nen) = (v).
Поэтому отображения и совпадают.
80. Пусть e = (e1 , … , en) – базис векторного пространства V , а w1 , … , wn – произвольные векторы из W. Тогда существует единственный линейный оператор : V W со свойством (ei) = wi (1 i n).
Единственность линейного оператора со сформулированным свойством следует из свойства 70. Докажем существование. Любой вектор v V однозначно раскладывается по базису e : v = 1e1 + … + nen . Поэтому формула (v) = 1 w1 + … + n wn однозначно определяет отображение : V W. Проверим, что – линейный оператор.
(А): x, y V (x + y) = (x)(y)
Если x = 1e1+ … +nen , y = 1e1+ … +nen , то
x + y = (1+1)e1+ … +(n+n)en ,
(x) = 1 w1+ … +n wn , (y) = 1 w1+ … +n wn ,
(x + y) = (1+1) w1+ … + (n+n) wn =
= (1 w1+ … +n wn) + (1 w1+ … +n wn) = (x) + (y).
(O): x V V (x) = (x)
Если x = 1e1+…+nen , то
(x) = ((1)e1+…+(n)en) = (1) w1+…+(n) wn =
= (1 w1+…+n wn) = (x).
Таким образом, удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, т.е. является линейным оператором.
90. Если : U V и : V W – два линейных оператора, то их композиция : U W будет линейным оператором, называемым произведением линейных операторов и .
Нужно проверить линейность и однородность для .
Аддитивность: u1 , u2 U (u1 + u2) = (u1) + (u2) .
Действительно, (u1 + u2) = ((u1 + u2)) = ((u1) + (u2)) = = ((u1)) + ((u2))) = (u1) + (u2) .
Однородность: u U F (u) = ((u)) .
В самом деле, (u) = ((u)) = ((u)) = (((u))) = = ((u)).
В качестве следствия немедленно получается следующее свойство:
100. Композиция мономорфизмов – мономорфизм, композиция эпиморфизмов – эпиморфизм, композиция изоморфизмов – изоморфизм.
110. Если : V W и : V W – два линейных оператора, то отображение s : V W, заданное правилом v V s(v) = (v) (v) является линейным оператором, называемым (поточечной) суммой линейных операторов и и обозначаемым через .
Нужно проверить свойства аддитивности и однородности.
(А): x, y V s(x + y) = s(x) s(y)
Имеем s(x + y) = (x + y) (x + y) = ((x) (y)) ((x) (y)) = = ((x) (x)) ((y) (y)) = s(x) s(y).
(O): x V V s(x) = s(x)
В самом деле, s(x) = (x) (x) = (x) (x) =
= ((x) (x)) = s(x).
Итак, s – линейный оператор.
120. Если : V W – линейный оператор, а F – произвольный скаляр, то отображение h : V W , заданное правилом v V h(v) = (v) является линейным оператором, называемым (поточечным) произведением линейного оператора на скаляр и обозначаемым через .
Доказательство аналогично предыдущим.
130. Если : V W – изоморфизм векторных пространств, то обратное отображение –1 : W V также является изоморфизмом векторных пространств.
Нужно проверить только гомоморфность отображения –1 , т.к. его биективность следует из биективности отображения .
Линейность: w1 , w2 W –1(w1 w2) = –1(w1) + –1(w2).
В самом деле, если w1 , w2 W , то (ввиду эпиморфности ) найдутся v1 , v2 V со свойством wi = (vi) (i = 1, 2). Поэтому w1 w2 = (v1) (v2) = = (v1 + v2) и (по определению обратного отображения –1) –1(w1 w2) = = v1 + v2 = –1(w1) + –1(w2) .
Однородность: w W F –1( w) = –1(w).
Действительно, если w W , то (ввиду эпиморфности ) найдётся v V со свойством w = (v). Поэтому w = (v) = (v) и (по определению обратного отображения –1) –1( w) = v = –1(w) .