3.4. Двійкова система числення

Під двійковою системою числення розуміють таку систему, в якій для зображення чисел використовуються два символи, а ваги розрядів змінюються за законом (де– довільне ціле число). Класичною двійковою системою є система з символами 0, 1. Її двійкові цифри називають бітами.

Щоб опанувати будь-яку систему числення, потрібно вміти додавати та множити в ній будь-які цифри. Арифметичні операції в двійковій системі числення виконуються так само, як й в десятковій відповідно до таблиць порозрядних обчислень.

Таблиця 3.3 множень двійкових чисел повністю визначається двома правилами: 1) множення будь-якого числа на 0 дає 0; 2) множення будь-якого числа на 1 залишає його без зміни.

Для додавання є тільки одне правило, згідно з яким додавання 0 до будь-якого числа не змінює цього числа. Тоді таблиця додавання матиме вигляд згідно з таблицею 3.4.

Таблиця 3.3. Таблиця множення двійкових чисел 0 1 0 0 0 1 0 1

Таблиця 3.4. Таблиця додавання двійкових чисел + 0 1 0 0 1 1 1 10

Приклад 3.7. Знайти суму чисел та:

Як вже зазначалося, в загальному вигляді всі двійкові числа подаються у вигляді поліному

. (3.8)

Переведення в двійкову систему числення з десяткової здійснюється або за загальним правилом переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу, або десяткові числа переводяться у вісімкову систему за загальним правилом, а потім вісімкові числа переводяться в двійкові за правилом переведення чисел для однорідних позиційних систем з кратною основою. Зворотне переведення робиться аналогічно або за допомогою загального вигляду запису числа (3.8) у вигляді поліному.

3.5. Двійкова система числення з цифрами 1,

З означення двійкової системи числення випливає, що для зображення чисел можуть бути використані не лише символи 0, 1, але й символи 1, -1 або 0, -1.

Символ «-1» записують як , а систему, в якій використовуються символи 1, -1, називають системою (1,). Числозапишеться, наприклад, у цій системі як, якщо у формулі (3.8) припустити, щонабуває значень 1 або.

Особливістю двійкової системи числення з цифрами 1, є подання єдиним кодом як додатних, так і від’ємних чисел. Проте в ній відсутній нуль та немає можливості подати деякі числа у вигляді скінченної множини.

У системі (1, ) деякі цілі та дробові числа, наприклад парні (), подають у вигляді нескінченних дробів, тобто із певною похибкою.

Водночас, існують числа, які не мають єдиного зображення, наприклад, число 1 може бути подано у вигляді

, . (3.9)

Співвідношення (3.9) відображає зв’язок між звичайною двійковою системою та системою (1, ).

Приклад 3.8. Перевести число А=100101 у систему (1, ). Використовуючи співвідношення (3.10), зводимо переведення до заміни комбінацій 001 та 01 комбінаціями відповіднота, тобто.

Для отримання скінченного подання як парних, так і непарних чисел у системі (1, ) використовується такий запис чисел:

. (3.10)

У цьому випадку через адитивний додаток доданих чисел буде менше на одне число, ніж від’ємних. Всього при можна зображуватичисел:від’ємних,додатних.

Для переведення чисел у систему (1, ) необхідно враховувати наступне: у разі непарного числа переклад здійснюють за правилом (3.9), а потім у розряд записують одиницю; при переведенні парного числа, його спочатку перетворюють на непарне додаванням одиниці в молодший розряд і тільки після цього переводять у систему (1,) за правилом (3.9) як непарне число. Потім до отриманого результату в розряд записують.

Приклад 3.9. Перевести в систему (1, ) двійкове числоА=11000.

Спочатку перетворюємо на непарне число 11001. Після цього замінюємо в зображенні числа комбінацію 001 на комбінацію , приписуємо в розряд після коми цифрута отримуємо.

Правило переведення з двійкової системи числення з цифрами 0,1 у систему з цифрами 1, можна сформулювати таким чином.

Для переведення додатних чисел спочатку до початкового числа приписується справа ще один розряд, значення якого є 1. Потім у початковому зображенні виділяють конструкції, що складаються з послідовності нулів та одиниць справа, тобто конструкції виду 00..01. Ці конструкції на основі (3.9) перетворяться до виду , тобто найстарший нульовий розряд замінюється на 1, а інші розряди, включаючи 1 у молодшому розряді конструкції, замінюються на.

Приклад 3.10. Число .

Приписуємо справа розряд зі значенням 1: . Виділяємо конструкції виду 000..01.. Перетворюємо вибрані конструкції та отримаємо.

У цьому випадку, додавши 1 справа до початкового запису, реалізується врахування адитивної поправки. Значення цієї поправки повинно бути одне й те саме для всіх чисел, тому якщо в початковому записі дробова частина має менше, ніж значущих цифр, то її необхідно заповнити нулями дорозрядів та вже в-й розряд записати 1.

Приклад 3.11. Число при,.

Спочатку підготуємо запис числа до перетворення: . Приписуємо справа розряд зі значенням 1 та виділяємо конструкції виду 000..01:. Перетворюємо виділені конструкції та отримаємо.

Для представлення від’ємних чисел у системі з цифрами 1, спочатку перетворюється запис абсолютної величини числаА шляхом дописування зліва та справа необхідної кількості нулів. Потім у цьому зображенні всі 1 замінюються на , а потім до отриманого зображення дописується 1 справа (адитивний доданок). Далі виділяють конструкції виду 00…0та 00..01, які перетворюються відповідно до вигляду1…11 та 1….

Двійкову систему числення з цифрами 1, раціонально використовувати як проміжну при виконанні операцій множення та ділення. Пряма операція арифметичних дій у цій системі суттєво складніша, ніж у системі з цифрами 0 та 1.