3.3. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу

Існує два основних методи переведення числа з однієї системи числення в іншу: табличний та розрахунковий.

Табличний метод прямого переведення заснований на використанні таблиць відповідності чисел різних систем числення. Цей метод надто громіздкий та вимагає значного об’єму пам’яті для зберігання таблиць, але може бути використаний для будь-яких систем числення (не тільки для позиційних). Суть іншого виду табличного методу полягає в тому, що існують таб­лиці еквівалентів у кожній системі тільки для цифр, тобто баз цих систем та степенів основ (додатних та від’ємних), тобто базису систем. Задача переведення зводиться до того, що у виразах поліномів (3.2) та (3.3) для початкової системи числення подаються еквіваленти з нової системи для всіх цифр та їх ваг розрядів та проводять дії (множення та додавання) за правилами арифмети­ки за новою основою р. Отриманий при цьому результат буде зображати число в новій системі числення. Цей метод використовується тільки до позиційних систем числення.

Розрахунковий метод використовується тільки до однорідних позиційних систем числення.

3.3.1. Переведення цілих чисел з однієї позиційної системи числення в іншу

Нехай задано число А в довільній позиційній системі числення з основою та його необхідно перевести в нову систему з основоюр, тобто перетворити до виду

, (3.5)

де – база нової системи числення. Вираз (3.5) можна записати у вигляді

,

де – ціла частина частки;– залишок від діленняА на р, який є цифрою молодшого розряду шуканого числа, записаного в символах старої системи числення.

При діленні числа нар тим самим способом отримаємо залишок й т.д. Таким чином, вираз (3.5) можна записати за схемою Горнера

,

після чого його права частина послідовно ділиться на основу нової системи .

Отже, в результаті серії ділень початкового числа на основу нової системи числення знаходимо коефіцієнти

При цьому ділення продовжується до тих пір, поки не будуть виконані відношення ;.

Правило переведення цілих чисел з однієї позиційної системи в іншу позиційну систему формулюється таким чином: щоб перевести ціле число з однієї позиційної системи числення в іншу, необхідно початкове число послідовно ділити на основу нової системи числення, що за­писане в початковій системі, до отримання частки, яка дорівнює нулеві. Число в новій системі числення записується із залишків від ділення, починаючи з останнього.

Приклад 3.2. Перевести десяткове число 125 у двійкову та вісімкову систему.

При переведенні з десяткової системи послідовно ділимо початкове число на основи 2 та 8 відповідно:

Нове число записуємо з права на ліво, тобто отримаємо .

При переведенні з двійкової системи числення в десяткову початкове число не­обхідно ділити на основу нової системи, тобто .

Ділення виконати в двійковій системі важко. Тому на прак­тиці за необхідності переведення чисел із системи з малою основою в систему з більшою основою зручно користуватися загальним записом чисел у вигляді поліному (3.5). У загальному випадку можна обчислити многочлен безпосередньо у вигляді

,

представивши в системі за основою р та та виконавши всі дії за правилами арифметики системи числення з основою р. Наприклад, при переведенні двійкових чисел у десяткову систему числення на практиці зазвичай підраховують суму степенів основи 2, при яких коефіцієнти дорівнюють одиниці. Розрахунки проводять в десятковій системі числення.

Приклад 3.3. Перевести число в десяткову систему:

.