4,2. Поняття узагальнених координат

Однорідними координатами деякої точки простору а декартової прямокутної системи координат 0xyz є будь-які чотири числа а₁, а₂, а₃, а₄, що одночасно не рівні нулю і задовольняють співвідношення: а₄ ≠ 0; х = а₁/а₄; у = а₂/а₄; z = а₃/а₄.

Однорідні координати вводяться для зручності запису координатних перетворень. Вони дозволяють у єдиному виді записати як лінійні, так і кутові перетворення.

Основні операції над векторами, заданими в однорідних координатах, виконуються згідно з наступними правилами:

1. Додавання

А ± В = С,

де вектор С має координати , причому с₄ – будь–яке число, не рівне нулю; і = 1,2,3…

2. Множення на скаляр

.

3. Модуль (довжина) вектора

.

4. Скалярний добуток

,

де γ – кут між векторами А і В.

5. Векторний добуток

.

Звідси слідує, що однорідні координати вектору рівні:

с₁ = а₂b₃–a₃b₂; с₂ = а₃b₁–a₁b₃; с₃ = а₁b₂–a₂b₁; с₄ = а₄b₄.

За допомогою однорідних координат можна задати будь-яку точку в просторі або лінію, наприклад (рис.1, а):

початок координат – (0,0,0,1);

вектор і (вісь 0х) – (1,0,0,0);

вектор j(вісь 0у) – (0,1,0,0);

вектор k (вісь 0z) – (0,0,1,0);

точка а (система 0xyz) – (3,4,5,1);

точка а (система 0^/x^/y^/z^/)– (6,8,10,2).

В однорідних координатах існує неоднозначність запису координати однієї і тієї ж точки у просторі, наприклад, точка а (рис.1,а), як записано вище, може бути визначена по-різному, що пов’язане зі зміщенням початку однорідних координат по всіх осях на відстань, рівну величині а_і (а₄ = 1) (рівнозначне зміні масштабу рисунка).

Розглянемо координатні перетворення в загальному вигляді. Уявимо, що координати деякої точки а (рис.9) у однорідних координатах системи 0xyz описуються радіус-вектором А = [а₁,а₂,а₃,а₄]^γ, тоді радіус-вектор А^/ = [а₁^/,а₂^/,а₃^/,а₄^/]^γ тієї ж точки у системі 0^/x^/y^/z^/буде зв’язаний з першим співвідношенням:

а₁^/ = t₁₁а₁ + t₁₂а₂ +t₁₃а₃ + t₁а₄;

а₂^/ = t₂₁а₁ + t₂₂а₂ +t₂₃а₃ + t₂а₄;

а₃^/ = t₃₁а₁ + t₃₂а₂ +t₃₃а₃ + t₃а₄;

а₄^/ = а₄.

Або у матричному вигляді

,

де Т – матриця лінійного перетворення координат від системи 0xyz до системи 0^/x^/y^/z^/.

Будь-яке перетворення координат може бути розбите на послідовні операції переносу вздовж і повороту навколо осей 0х, 0у, 0z. Матриця Т₁ для лінійного переносу, наприклад, уздовж осі 0у на відстань ℓ₂має вигляд:

;

Відповідні координатні перетворення показані на рисунку.9,б.

На рисунку.9,в наведені координатні перетворення навколо осі 0z на кут +θ; відповідна такому перетворенню матриця має вигляд Т₂.

Лекція 5. Кінематичні схеми. Типові кінематичні схеми роботів різної конструкції

Кінематична схема визначає найважливіші характеристики ПР. Основне її призначення – забезпечувати попадання виконавчого органу в будь-яку задану точку робочого простору та орієнтувати захват в цій точці необхідним способом.

Вимоги до кс

По можливості кінематична схема повинна:

1. виключати інтенсивні переміщення проміжних кінематичних ланок,

2. дозволяти незалежне керування рухом по координатах,

3. не допускати самодовільного ходу,

4. у випадку необхідності забезпечити роботу в запиленому просторі,

5. бути простою і надійною

Кінематичні схеми характеризуються наступними показниками: структурою робочої зони, системою координат, у якій здійснюється рух механізмів ПР, числом ступенів рухомості, маневреністю, мобільністю.

Кінематичні схеми більшості ПР являють собою розімкнений ланцюг, що складається з послідовно з’єднаних ланок. Взаємне з’єднання ланок характеризує-ться класом, котрий визначає допустимі пари ланок рухів.

У ПР знаходять застосування і кінематичні схеми із замкненим ланцюгом. Наприклад, чотириланковий механізм, виконаний у вигляді паралелограма, має лише один ступінь рухливості. Такі механізми застосовуються для задавання спеціальних траєкторій руху. Елементи кінематичної схеми із замкнутим ланцюгом мають більш високу жорсткість, оскільки на них діють в основному навантаження типу розтяг–стиск і вони менше працюють на згин. Тому механізми із замкненим кінематичним ланцюгом мають підвищену точність і застосовуються в позиційних ПР.

Універсальність маніпулятора визначається числом ступенів рухливості його кінематичного ланцюга, під яким розуміють число ступенів свободи кінематичного ланцюга відносно ланки, що прийнята за нерухому. Сукупність деякого числа рухомих ланок забезпечує механізму певне число ступенів рухливості, які визначаються за формулою Соснова–Малишева:

W= 6n– 5p₅– 4p₄–3р₃ – 2р₂ – р_1,

де n – число рухливих ланок кінематичного ланцюга,

p₅, p₄, р₃, р₂, р₁ – число кінематичних пар відповідно І, ІІ, ІІІ, IV i V класу.

Рис.1. Схеми кінематичних пар, що застосовуються в ПР

Рис.2. Приклади кінематичних пар IV (а)і ІІІ (б) класу

Велике розповсюдження дістали кінематичні пари V класу з трьома видами руху:

• поступальним, для якого введено символічне позначення S,

• ротацією – обертанням навколо осі, що збігається з поздовжньою віссю ланки, позначається R;

• згином – обертання навколо осі, що перпендикулярна поздовжній осі, позначається Р.

З обмеженого набору кінематичних пар при їх різному сполученні може бути сформована велика кількість механізмів із різним виглядом рухів і можливостями. Послідовність з’єднання кінематичних пар між собою при аналізі й синтезі ПР зручно представляти у вигляді символічних позначень, наприклад R–S–P. При виборі кінематичного ланцюга слід ураховувати, що найбільш просто організовуються траєкторії, які відповідають рухові по одній координаті. В значно більш обмежених масштабах у ПР застосовуються також кінематичні пари IV і ІІІ класів, що забезпечують відповідно два й три ступені свободи.

У кінематичних ланцюгах механічних систем та маніпуляторів кількість рухомих ланок завжди дорівнює числу пар:

.

Тоді при підстановленні у формулу для W визначення числа ступенів рухомості спрощується

W_м = p₅ + 2p₄ + 3р₃ + 4р₂ + 5р₁

або з урахуванням, що у ПР p₁ = p₂ = 0,

W_м = p₅+ 2p₄+3р₃.

Для роботи з неорієнтованими об’єктами маніпулятор повинен мати не менше від шести ступенів свободи:

• три для переміщення виконавчого органу в задану точку – транспортувальні ступені,

• три – для заданої орієнтації виконавчого органу в заданій точці – орієнтуючі ступені, а також одну додаткову ступінь рухомості, котра повинна ВО (якщо ним є захват) для стиску і відпускання об’єкта маніпулювання.

Великий вплив на властивості й можливості ПР несе вибір компоновки транспортуючих координат. Зараз у робототехніці як транспортні найчастіше використовуються кінематичні ланцюги, що працюють у прямокутній, циліндричній та сферичній системах координат.

Для компоновки S–S–S ланцюга доцільна прямокутна система координат xyz, у котрій положення схвату С визначається координатами x_c,y_c,z_c. Робоча зона має вигляд паралелепіпеда.

У циліндричній системі координат R–S–S положення точки визначає: радіус (висування руки), ℓ – відстань до осі обертання, поворот руки φ – кут повороту відносно осі, вибраної за початок відліку, і підйом руки z – висота точки. Робоча зона в цьому випадку являє собою циліндр або циліндричний сегмент.

Перехід від циліндричної системи координат до прямокутної (для програмування відрізків прямої у просторі) здійснюється за формулами приведення. Для точки, що характеризує положення захвату С, ці формули мають вигляд:

x_c = ℓcosφ; y_c = ℓsin φ; z_c = z.

Виконавши диференціювання по часу, отримаємо формули перетворення для швидкостей:

Аналогічно можуть бути отримані формули для прискорень:

де V_ℓ = ℓ^/ – радіальна швидкість, V_τ = ℓω – трансверсальна швидкість, ω = φ^/ – кутова швидкість, а_ℓ = V^/_ℓ – лінійне прискорення, ε = ω^/ – кутове прискорення, при цьому радіальне прискорення а = а_ℓ – ℓω², трансверсальне прискорення а_τ = ℓε + 2V_ℓω.

Формула для розрахунку траєкторії руху відносно проста, структура кінематичного ланцюга R–S–S при компактній конструкції ПР дозволяє обслуговувати досить великий об’єм робочої зони – це і визначає широке застосування циліндричної СК для транспортувальних ступенів рухомості ПР.

Сферична компоновка R–P–Sхарактеризується узагальненими координатами: поворот руки φ, коливання руки θ і висування руки ℓ. Робоча зона являє собою сферичний сегмент. Перехід від сферичної системи координат до прямокутної може бути здійснений за формулами:

x_c = ℓcosθcosφ; у_с = ℓcosθsinφ; z_c = ℓsinθ.

Диференціювання за часом дає змогу отримати формули для обчислення швидкості й прискорення, необхідних для планування і розрахунку заданої траєкторії руху. Така компоновка, як Р–Р–S забезпечує більший об’єм обслуговування робочого простору при дуже компактній конструкції та доцільна для ПР, призначених для фарбування й операцій, де не вимагається точності відпрацювання траєкторій.

Орієнтуючі ступені рухомості – використовуються обертальні пари. В основному це ротаційні кисті. Форми перетворення координат такі ж, як і у циліндричній СК при ℓ = const, z = const.

У більш складних випадках застосовуються сполучення ротації та згину кисті R–P. Тут застосовується формула для сферичної СК при постійному радіусі.

Збільшення числа ступенів рухомості маніпулятора може бути продиктоване спрямуванням підвищити маневреність маніпулятора і завдяки цьому підвищити гнучкість виконання робочих операцій. Але це обтяжує конструкцію маніпулятора, призводить до неоднозначності розв’язання задачі розрахунку траєкторії руху. Тут же відмітимо, що рука людини має 27 ступенів рухомості.

На кожному робочому місці необхідно використовувати маніпулятор з мінімально можливим числом ступенів рухомості., що забезпечує виконання заданої технологічної операції. По числу ступенів рухомості моделі ПР зараз розподілилися таким чином: дві – 9,7%; три – 17,3%; чотири – 33,1%; п’ять – 30%; шість – 8,4; сім і більше – 1,5%.

З наведених даних видно, що більшість типів ПР мають від трьох до п’яти ступенів рухомості (без урахування ступені рухомості захвату).

Для ознайомлення з кінематичними схемами найбільш розповсюджених моделей ПР на рисунку.11–26 наведені їх структурні кінематичні схеми, вказані марки, числа ступенів рухомостіW_м і система координат, у якій вони працюють.

Рис.3.ПР: РО/1В (СРСР); “Authohand” АН–60–3 (Японія)

(W_м = 2 або 3; прямокутна плоска система координат)

Рис.4. ПР: СМ80Ц25.01; СМ80Ц48.01; ТРТ–1–250 (СРСР) М63–0L (Чехія)

(W_м = 3 або 2, прямокутна плоска система координат)

Рис.5. ПР “Autohand” АН–40/40–2 (Японія)

(W_м = 4, прямокутна просторова система координат)

Рис.6. ПР “Toyoda BBS” (Японія)

(W_м = 5, прямокутна просторова система координат)

Рис.7. ПР: КМ102842.31 (СРСР), “Motbac JBC–30” (Японія)

(W_м = 4, полярна циліндрична система координат)

Рис.8. ПР “Kaufeldt” (Швеція)

(W_м = 5, полярна циліндрична система координат)

Рис.9. Універсал – 50М та ін.

(W_м = 5, полярна сферична система координат)

Рис.10. ПР СМ4002.08.01

(W_м = 6, ангулярна циліндрична система координат)

Рис.11. ПР ТУР–10

(W_м = 5, ангулярна сферична система координат)