Глава 2. Матрицы и определители.

§1. Основные сведения о матрицах.

Определение.Матрицей размераmn, гдеm- число строк,n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаютсяa_ij,гдеi- номер строки, аj- номер столбца. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита:A,B,C, … Например, матрица

А =

Или, в сокращенной записи, А = (a_ij); i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n. ( Пример).

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], .

Определение.Две матрицы А и В одинаковых размеров называютсяравнымиА_mn=B_mn, если все элементы с одинаковыми индексами обеих матриц совпадают, т.е.a_ij=b_ijдля любыхi = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n.

Определение.Матрица размера 1n, состоящая из одной строки, называетсяматрицей (вектором) – строкой,матрица размераm1, состоящая из одного столбца –матрицей (вектором) – столбцом,а матрица размера 11 –скалярной матрицей.

Определение.Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называетсяквадратной. (Пример).

Определение.Если матрица квадратная, то совокупность тех ее элементовa_ii. у которых номер строки равен номеру столбца, называетсяглавной диагональю или простодиагональю матрицы. Таким образом, главную диагональ квадратной матрицы образуют элементыa₁₁, a₂₂, . . . , a_nn.

Определение. Квадратная матрица называетсядиагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, т.е. это матрица вида.

Определение.Если у диагональной матрицыn-ого порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной матрицейn-ого порядка;она обозначается буквой Е:

Е =

Определение.Еслиa_mn = a_nm , то матрица называетсясимметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение.Если все элементы матрицы любых размеров равны нулю, то она называетсянулевойилинуль-матрицей.

§2. Операции над матрицами.

Сложение и вычитаниематриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что, ониопределены только для матриц одинакового размера. Таким образом, можно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение.Суммой (разностью)матрицAиBодинаковых размеровmnявляется матрица С = А + В того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц, т.е.: c_ij=a_ijb_ij,i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n.

Определение. Произведением матрицы Ана число называется матрица В =А, элементы которойb_ij=a_ij,i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n.

Пример.Даны матрицы А = ;B= , найти 2А + В.

Определение:Произведениемматриц А_mkB_knназывается такая матрица С_mn, каждый элемент которой c_ijравен сумме произведений элементовi-ой строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В: ,i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример.Вычислить произведение АВ, где

А= ; В =.

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (это следует из определения этих операций)

Свойства операции над матрицами.

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) (А + В) =А +В;

4) А(В + С) = АВ + АС;

5) (А + В)С = АС + ВС;

1. (А В) = (А)В = А(В);

7) (АВ)С = А(ВС).

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

1. Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей произведение матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере, приведенном выше, получили произведение матриц А_23B_33 = С_23, а произведение В_33А_23не существует.

2. Если даже произведения АВ и ВА существует, то они могу быть матрицами разных размеров. Например, А_23B_32= С_22, а В_32А_23=D_33.

3. Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВВА даже если определены оба произведения и обе матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одинакового порядка).

Пример.Найти произведения АВ и ВА, где

А = , В =.

Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (коммутирующими между собой).