§7. Линейная зависимость векторов

Определение.ВекторВназываетсялинейной комбинацией векторов А_1,А₂, . . ., А_n векторного пространстваRⁿ, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:В =₁А₁+a₂А₂+ . . .+a_nА_n,где_1,a₂, . . .a_n– любые действительные числа.

Определение.ВекторыА_1,А₂, . . ., А_nназываютсялинейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация₁А₁+a₂А₂+ . . .+a_nА_n=0, при не равных нулю одновременно_i(i = 1, 2, . . .n), т.е..

Если же ₁А₁+a₂А₂+ . . .+a_nА_n=0 выполняется только при всех_i= 0 (i = 1, 2, . . .n), то векторы называютсялинейно независимыми.

Свойства линейно зависимой системы векторов.

Свойство 1.Если среди векторовА_i (i = 1, 2, . . .n) есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2.Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3.Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве:

В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой: , т.е. эти векторыколлинеарныили, что то же самое, они находятся на параллельных прямых.

Свойство 4.Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны:

В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны.

Свойство 5.Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Т.е., достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других (выражался через них).

Утверждение.В пространствеRⁿлюбая система, содержащаяmвекторов, линейно зависима приm > n.

§8. Размерность и базис векторного пространства.

Определение. Линейным подпространством линейного пространстваL называется подмножествоK векторов пространства L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. из того, что векторыX,YK, следует, чтоX+YиXпринадлежатK.

Определение. Множество всех линейных комбинаций векторовА_1,А₂, . . ., А_nL ₁А₁+a₂А₂+ . . .+a_nА_n,a_iR, называетсяпространством, порожденным векторами А_1,А₂, . . ., А_n.(Проверьте, что оно является линейным подпространством векторного пространстваL).

Если линейное подпространство К векторного пространстваLне совпадает с ним, то его часто называютгиперплоскостью.

Определение.Набор векторовА_1,А₂, . . ., А_nLназываетсябазисом пространстваL, если выполняются два условия:

1. векторы А_1,А₂, . . ., А_nLлинейно независимы;

2. пространство, порожденное векторами А_1,А₂, . . ., А_nL, совпадает сL, или всякий вектор пространстваLлинейно выражается через эти векторы.

Например, набор векторов E₁,E₂, . . ,E_n, у которых все координаты, кромеi-ой, равны нулю, аi-ая координата равна 1, является базисом в пространствеRⁿ. Сами векторыE_i, i=1, . . .nназываютбазисными.

Утверждение. Все базисы векторного пространстваL, содержат одно и то же число векторов, которое называется размерностьюdim(L) векторного пространстваL.

Например, размерность Rⁿравнаdim(Rⁿ) =n.

Утверждение. Любой векторAлинейного пространства можно единственным способом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов:A=₁А₁+a₂А₂+ . . .+a_nА_n(7.1), гдеА_1,А₂, . . ., А_n- базисные векторы, а числа_i(i = 1, 2, . . .n) – компоненты (координаты) вектораAв базисеА_1,А₂, . . ., А_n.