- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
Высшая математика (краткий курс лекций)
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
§1. Понятие множества. Некоторые сведения о математической логике.
§2. Числовые множества. Множество действительных чисел.
§3. Числовые промежутки.
§4. Модуль действительного числа.
ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§1. Понятие функции и способы ее задания.
§2. Основные характеристики функций.
§3. Элементарные функции.
§4. Приложение функций в экономике.
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ
§1. Числовая последовательность и ее предел.
Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. Начальные сведения о пределах встречаются еще в школьном курсе. Например, в алгебре с понятием предела связан вопрос о сумме членов бесконечной убывающей прогрессии, в геометрии – вопрос о вычислении длины окружности, площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел вращения.
В курсе математического анализа с помощью предела вводятся понятия производной, определенного интеграла.
Ознакомимся с понятием числовой последовательности и ее предела.
Определение.Если каждому натуральному числуnпоставлено в соответствие числохn, то говорят, что заданапоследовательность
x1, х2, …, хn = {xn} (1.1)
Общий элемент последовательности является функцией отn.
xn = f(n)
Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Примеры.
10) {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; …
20) {xn} = {} или {xn} = 1;;;; …
30) {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
40) {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; -1; 0; …
50) {xn} = {6} или {xn} = 6; 6; 6; 6; …
Для последовательностей можно определить следующие операции:
Умножение последовательности на число m:m{xn} = {mxn}, т.е.mx1,mx2, …
Сложение (вычитание) последовательностей: {xn}±{yn} = {xn±yn}.
Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.
Частное последовательностей: при{yn} ¹ 0.
Замечание.Если переменнаяxn принимает значенияx1, х2, …, хn,…, то говорят, что эта переменная «пробегает» числовую последовательность{xn}. Такую переменную называют «упорядоченной». Часто упорядоченную переменную отождествляют с числовой последовательностью, которую она «пробегает» и обозначаютxn. Переменнаяxn не является непрерывной, она –дискретная.
Заметим, что n(номер) можно увеличивать неограниченно, пишутn→∞и последовательность (1.1) являетсябесконечнойчисловой последовательностью.
Вернемся к рассмотренному примеру 10): {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; … На данном примере можно заметить, что приn→∞переменная величинаxnтоже неограниченно возрастает. Такие величины называют бесконечно большими.
Определение.Переменная величинаxnназывается бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) М>0 можно найти такой номерn=N,начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству:
|xn| ³M
Рассматривая пример 20), можно заметить, что величинаxn=→ 0 приn → ∞. Такие величины называютсябесконечно малыми.
Рассмотрим еще один пример: {xn} = {} или {xn} = 0;;;…
По мере возрастания номера nчлены числовой последовательности приближаются к числу 1. Говорят, что 1 – предел этой числовой последовательности. Точно так же в примере 20) 0 – предел этой последовательности. Кратко это записывается так .
Определение. Окрестностью точкианазывается любой интервал (α, β), содержащий точкуа. В частности, симметричный интервал (а - ε;а+ ε), где ε > 0, называется ε-окрестностью точкиа.
Замечание.х (а - ε;а+ ε)
В общем случае, если последовательность {xn}имеет своим пределом числоа, то это записывают так .
Геометрически это означает, что начиная с некоторого номера n=N,N+1,N+2, …все члены последовательности попадают в ε-окрестность точкиа. (ε – достаточно малое положительное число) или
Последовательности 30),40) не имеют предела (расходятся). Последовательность, которая имеет предел – сходится.
Определение.Числоаназываетсяпределомпоследовательности {xn}, если для любого положительногоe>0 существует такой номерN, что для всехn>Nвыполняется условие:
Это записывается:
В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходитсяка приn®¥.
Свойство:Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример.Доказать, что предел последовательностиlim .
Пусть при n>Nверно , т.е.. Это верно при, таким образом, если заNвзять целую часть от, то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример.Показать, что приn®¥последовательность 3, имеет пределом число 2.
Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n=xn– 2
Очевидно, что существует такое число n, что, т.е.lim {xn}= 2.
Теорема.Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство.Предположим, что последовательность {xn}имеет два пределаa иb, не равные друг другу, т.еxn ® a; xn ® b; a ¹ b.
Тогда по определению существует такое число e>0, что
Запишем выражение:
А т.к. e-любое число, то, т.е.a=b. Теорема доказана.
Замечание.Говорят, чтонепрерывнаяпеременнаях→а, если эту переменную можно представить как бесконечное число числовых последовательностей, каждая из которых имеет пределом числоа.
Переменная хстремится каслева (справа), если все члены последовательностей, имеющих пределом числоа,
х→а-0
х→а+0
Переменная х→ +∞, если для любого сколь угодно большого М>0 найдетсях, начиная с которого все следующие значенияхбудут больше М :х> М их→ -∞, если для любого сколь угодно большого М>0 найдетсях, начиная с которого все следующие значенияхбудут меньше - М :х<- М. В этих случаях переменнаяхназывается бесконечно большой.