§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Пусть функция y = f(X)определена в точкеM(X)и в некоторой ее окрестности. Составим полное приращение функции в точкеМ(Х)= M(x₁, x₂, . . . , x_n). Для этого дадим приращения каждой независимой переменнойDМ(Dх₁, Dx₂, . . . , Dx_n). В результате получим «новую» точкуМ + DМ = (x₁+Dx₁, x₂+Dx₂, . . . , x_n+Dx_n), которая принадлежит данной окрестности точкиМ. Тогдаполным приращением Dy функцииy = f(X)в точкеM(X) будет являться разность:

Dy = f(M+DM) – f(M) = f(x₁+Dx₁, x₂+Dx₂, . . . , x_n+Dx_n)-f(x₁, x₂, . . . , x_n)(1).

Определение.Функцияy = f(X)называетсядифференцируемойв точкеM(X), если ее полное приращение(1)в этой точке можно представить в виде:

Dy =++. . .+ +a₁Dx₁+a₂Dx₂+ . . .+ a_nDx_n (2),

где a₁, a₂, . . . a_n– бесконечно малые функции соответственно приDx₁ ® 0, Dx₂ ® 0, . . . Dx_n ® 0.

Сумма первых nслагаемых в равенстве(2) представляет собойлинейноевыражение относительноDx₁, Dx₂, . . . , Dx_n и являетсяглавной линейной частьюполного приращения функцииy = f(X), которое называетсяполным дифференциаломэтой функции и обозначаетсяdy или df(X):

dy = =++. . .+ (3).

Для независимых переменных x₁, x₂, . . . , x_n полагаютDx₁ = dx₁, Dx₂ = dx₂, . . . , Dx_n = dx_n,тогда формулу(3)можно переписать в виде:

dy = =++. . .+ (4).

Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции)

Если функция y = f(X)дифференцируема в точкеM(X), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные ,i = 1,2,…n.

Доказательство.

Пусть выполняется условие (2)и - некоторые числа (i = 1,2,…n).

Из условия (2)следует, что частные приращения функцииy = f(X)в точкеМ, соответствующие приращениюDх_iлюбого изnаргументовx_i, i = 1,2,…n,будут иметь вид:

D_хiy = +a_iDx_i, т.к.Dx_i ¹ 0, а всеDx_j = 0,еслиj ¹ i.

Тогда . УстремимDx_i®0и перейдем к пределу

, т.к. по определению(2).

Непрерывность функции f(X)в точкеМследует непосредственно из условия(2):

т.е. Dy ® 0 приDx_i ® 0, i = 1,2, . . . , n.Ч.т.д.

Теорема 2. (достаточное условие дифференцируемости функции)

Если функция y = f(X)имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точкиМ(Х), причем эти производные непрерывны в самой точкеМ(Х), то данная функция дифференцируема в точкеМ(Х).(без доказательства).

Теорема 2 имеет важное следствие: непрерывность функции вытекает из непрерывности ее частных производных.

Непрерывность функции нескольких переменных напрямую проверить бывает довольно сложно, но, используя данное следствие, можно установить это свойство функции, если проверить непрерывность ее частных производных.

Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.

Установим, на какую величину следует изменить объем вложенного капитала K, чтобы при изменении трудовых ресурсов наDL выпуск продукции оставался неизменным.

Функция Кобба-Дугласа: Q = AK^aL^1-a.

dQ = =+.

Полагая Q(выпуск) неизменным(const)получаем, что дифференциал этой функции равен 0, т.е.dQ = 0или +=0 Þ .

Итак (5)

или в относительных величинах: , что означает:

если ресурс труда изменится (например, увеличится) на 1%, то ресурс капитала следует изменить (уменьшить) на % для того, чтобы выпуск продукции остался неизменным.

Из (5) следует формула - предельная норма замены трудовых ресурсовL капиталом K.