- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
существует, если выполняется условие:
промежуток интегрирования - конечный.
Подъинтегральная функция f(x) непрерывна на.
Такие интегралы называют собственными.
Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то такой интеграл называют несобственным.
когда нарушается первое условие, т.е. промежуток интегрирования бесконечен либо на верхнем, либо на нижнем, либо на обоих.
Пусть функция f(x) непрерывна на. Если существует конечный пределlim f(x)dx, т.е. его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают:
(1)
Если lim(1)=∞ или не существует, то говорят, что данный интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на (2).
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой: (если f(x) непрерывна для всех)
Геометрический смысл:
Если функция ; то промежуток (а;+∞).
Примеры: вычислить несобственные интегралы и установить их расходимость.
1) - расходится.
2)- сходится.
3) - сходится.
Интеграл Пуассона.
Несобственный интеграл -интеграл Пуассона. Это равенство доказано.
§8. Кратные интегралы.
8.1.Двойные интегралы.
Пусть область Д– некоторая замкнутая и ограниченная область на плоскости ХОУ.
Ив этой области определена некоторая непрерывная функцияz=f(x;y).
Разобьём область Днаn- произвольных частей. Площади каждой части обозначимВ каждой из частичных областей возьмём произвольную точку:.
(1)- интегральная сумма для функцииz=f(x;y)на областиД.
Назовём диаметром области d– наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Пусть - шаг разбиения.
Определение.Если интегральная сумма (1) имеет предел при, то этот предел называется двойным интегралом от функцииz=f(x;y)по областиДи обозначается:
(2)
dS=dxdy
При вычислении двойного интеграла используется теорема о сведении двойного интеграла к повторному, т.е. т.о. возможности дважды применить процесс обычного интегрирования.
Теорема.Пусть функцияz=f(x;y)ограничена и интегрируема в области Д. Область Дограничена сверху и снизу двумя непрерывными кривыми.
Пусть для каждогохиз отрезкасуществует определенный интеграл.
- (внутренний интеграл.)
Тогда существует повторный интеграл: и двойной интеграл функцииf(x;y)по областиД:(3)
В формуле (3) при вычислении внутреннего интеграла переменную х считают Const.
Пример: Найти двойной интеграл: , если областьДограниченау=х, у=2х, х=0,х=ln2.
(*)
(смотреть*)
8.2. Тройные интегралы.
Пусть область V– некоторая замкнутая и ограниченная область в пространствеxOyz.
В этой области определена произвольная ограниченная функция u=f(x;y;z). Разобьём областьVнаn-произвольных частей.- объём этих частей.
В каждой из частей возьмём точку и составим произведение:
(4)- интегральная сумма для функции
u=f(x;y;z)в областиV.
- шаг разбиения – наибольшее из всех диаметров частичных объёмов.
Если существует предел интегрирования суммы (4) при и он равен конечному числу, то он называется тройным интегралом от функцииu=f(x;y;z)по областиV:
(5)
(dV=dxdydz)
Теорема. (смотреть график выше) Если область Vпредставляет из себя следующее:
ограничена поверхностями:
- проекции этих поверхностей на плоскости хОу.
х=а
х=в
И тогда формула для вычисления тройного интеграла: