§3. Частные производные функции нескольких переменных.

Пусть функция y = f(x₁, x₂, . . . , x_n)(y = f(X))определена в некоторой окрестности точкиM(x₁, x₂, . . . , x_n) = M(X)и в этой точке функция имеет значениеf(M).

Дадим первому аргументу х₁приращениеDх₁, а другие переменные останутся неизменными. При этом получаем «новую» точкуМ₁(х₁+Dх₁, х₂, . . . , х_n), которая принадлежит указанной окрестности точкиМ, и значение функции в этой точкеf(M₁).

Тогда соответствующее приращение функции называется частным приращениемфункцииy = f(X)по переменнойх₁:

D_х1y = f(M₁) – f(M) = f(х₁+Dх₁, х₂, . . . , х_n) - f(x₁, x₂, . . . , x_n) (1).

Аналогично можно определить частные приращения функции y = f(X)в точкеМ, соответствующие приращениюDх_iлюбого изnаргументовx_i, i = 1,2,…n:

Пусть точка М_i(x₁, x₂, . . . , x_i+Dx_i, . . . , x_n) принадлежит указанной окрестности точкиМи значение функции в этой точкеf(M_i), тогда частное приращение этой функции по аргументуx_i:

D_хiy = f(M_i) – f(M) = f(x₁, x₂, . . . , x_i+Dx_i, . . . , x_n) - f(x₁, x₂, . . . , x_n) (2).

Рассмотрим в данной точке M(x₁, x₂, . . . , x_n) = M(X)отношение частного приращенияD_хiyк соответствующему приращению i–ого аргумента -Dх_i:

(3).

Определение.Если существуетпределотношения частного приращения функцииD_хiyв точкеМ к соответствующему приращению аргументаDх_iприDх_i ® 0, то он называется частной производной функцииy = f(X)в точкеМ(Х)по аргументуx_iи обозначается:.

Таким образом, согласно определению:.

Частная производная функции y = f(X)по аргументуx_iв точкеМ₀(x₁⁰, x₂⁰, . . . , x_n⁰)обозначается:или.

Т.о., частная производная функции y = f(X)по аргументуx_iесть производная функции по этой переменной при условии, что остальные независимые переменные не изменяют своего значения, т.е.постоянны.Поэтому частные производные функцииy = f(X)находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной, при этом соответственно другие переменные считаютсяconst.

Примеры. Найти частные производные функций:

1. z = x² – 2xy + y²

________________________________ ________________________________

2. z = arctq(y/x)

________________________________________________________________________

3. u = ye^yz + ln(x² – 2y + z)

Замечание.Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данному аргументу при фиксированном значении других аргументов.

4. Найти скорости изменения объема продукции Qпри изменениях одного из факторов: затрат капиталаK или величины трудовых ресурсовLпо функции Кобба-ДугласаQ = AK^aL^1-a.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

Величину K/Lназывают средней фондовооруженностью – это стоимость фондов (капитала), приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов.

- производная выпуска по труду приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной трудовой единицей, поэтому частная производная называетсяпредельной производительностью труда.

- производная выпуска по фондам приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной единицей фондов, поэтому ее называют предельной фондоотдачей.

Найдем частные эластичности функции Кобба-Дугласа:

1. Эластичность выпуска по фондам

2. Эластичность выпуска по труду

________________________________________________________________________

Т.о. степени a и1-aимеют экономический смысл – это эластичности выпуска по фондам и по труду соответственно.