Парабола.
Определение.Параболойназывается множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А М(х, у)
О Fx
p/2p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называетсяпараметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px(3.7)
Уравнение директрисы:x = -p/2, координаты фокусаF(p/2;0),центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОх, ветви параболы направлены в положительном направлении осиОх (вправо).
Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На этом принципе построены параболические зеркальные антены.
В зависимости от выбора положения точки начала отсчета и осей координат относительно фокуса и директрисы можно получить еще три канонических уравнения параболы:
y2 = -2px: координаты фокусаF(-p/2;0),центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОх, ветви параболы направлены в отрицательном направлении осиОх (влево).
х2 = 2pу:координаты фокусаF(0;p/2),центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОу, ветви параболы направлены в положительном направлении осиОу (вверх).
х2 = -2pу:координаты фокусаF(0;-p/2),центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОу, ветви параболы направлены в отрицательном направлении осиОу (вниз).
Однако чаще приходится иметь дело с обычным уравнением параболы, известным из школы:
y = ax2+ bx + c(3.8), гдеa, b,c – параметры параболы. Графики при различных значениях этих параметров:
Y
a < 0
OX
Y
OX
a > 0
Обычно для построения графика параболы используют несколько ключевых моментов: корни, ось симметрии, вершина параболы, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы и т.п. Предполагается, что нахождение этих ключевых моментов из уравнения параболы
Пример.На параболеу2 = 8хнайти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2= 4; следовательно:
x = 2;y2= 16;y =4. Искомые точки:M1(2; 4),M2(2; -4).
§4. Системы координат.
Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.
Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной практической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат.
Рассмотрим так называемую полярную систему координат; она весьма удобна и используется довольно часто.