Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей: Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.(5.10)

Условие параллельности плоскостей:Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарный: .

Это условие выполняется, если: (5.11)

2. Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0иФ(x, y, z) = 0– уравнения поверхностей, пересекающихся по линииL.

Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Векторназываетсянаправляющим векторомпрямой.

На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀)иM(x, y, z).

z

M₁

M₀

0 y

x

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = .

Т.к. векторыиколлинеарны, то верно соотношение =t, гдеt– некоторый параметр.

Итого, можно записать: = +t.(5.12)

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение (5.12) –параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

(5.13)

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.(5.14)

Определение.Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора, которые могут быть вычислены по формулам:

; .(5.15)

Отсюда получим: m : n : p=cos:cos:cos.

Числаm, n, pназываютсяугловыми коэффициентамипрямой. Т.к.- ненулевой вектор, тоm, nиpне могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁)иM₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

Кроме того, для точки М₁можно записать:

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.(5.16)

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

+D= 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: +D₁= 0 и +D₂= 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁,B₁,C₁), (A₂,B₂,C₂); (x,y,z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

(5.17)

Общие уравнения прямой в координатной форме:

(5.18)

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Пример.Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

Пример.Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примемz= 0. Тогда:

5.4. Поверхности второго порядка.

Определение.Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.