§9. Евклидово пространство.

Ранее мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на число, ввели понятие размерности и базиса, теперь в данном пространстве введемметрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно сделать, если ввести понятиескалярного произведения.

Определение.Скалярным произведениемдвух векторовX= (x₁,x₂, . . .,x_n) иY= (y₁,y₂, . . .,y_n) называетсячисло (Х,У) = x₁y₁+y₂x₂+ . . .+ y_nx_n (8.1)

Скалярное произведение имеет экономический смысл: еслиX= (x₁,x₂, . . .,x_n) – это вектор объемов различных товаров, аY= (y₁,y₂, . . .,y_n) – вектор их цен, то скалярное произведение(Х,У) = x₁y₁+y₂x₂+ . . .+ y_nx_n выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. (X,Y) = (Y,X) – коммутативное свойство;

2. (X,Y + Z)=(X,Y) + (X,Z) – дистрибутивное свойство;

3. (X,Y) = (X,Y) – для любого действительного числа;

4. (X,X) > 0, еслиХ– ненулевой вектор;(X,X) = 0, еслиX – нулевой вектор.

Определение.Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам с 1 по 4 (рассматриваемым как аксиомы), называетсяевклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектораХв евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(8,2).

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен/2 (т.к.cos/2 = 0)/

Векторы e₁,e₂, . . . e_n n-мерного евклидова пространства образуютортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е.(e_i,e_j) = 0 приi  j иe_i= 1 приi= 1,2, . . .n.

Теорема (без доказательства). Во всякомn-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система nединичных векторовe_i, у которыхi– ая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю :e₁ = (1, 0, . . . 0),e₂ = (0, 1, . . . , 0), . . . ,e_n = (0, 0, . . . , 1).

§9. Линейные операторы.

Рассмотрим два линейных пространства: RⁿразмерностиnиR^mразмерностиm.

Определение.Если задан закон (правило), по которому каждому векторуХ пространстваRⁿ ставится в соответствие единственный векторYпространстваR^m, то говорят, что заданоператор (преобразование, отображение)А(Х) и записываютY = A(X).

Оператор (преобразование) называетсялинейным, если для любых векторовX иYпространстваRⁿи любого числавыполняются соотношения:

1.A(X+Y) = A(X)+A(Y)– свойство аддитивности оператора;

2. A(X) = A(X) – свойство однородности оператора.

Вектор Y = A(X)называетсяобразом вектора Х, а сам векторХ– прообразом вектораY.

Если пространства RⁿиR^mсовпадают, то операторАотображает пространствоRⁿв себя. Именно такие операторы мы и будем рассматривать в дальнейшем.

Линейный оператор полностью определяется своими значениями на базисных векторах. В самом деле. пусть вn- мерном линейном пространстве с базисомe₁,e₂, . . . e_nзадано линейное преобразованиеА. Тогда векторыА(e₁),А(e₂), . . . ,А(e_n)- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

А(e₁)= a₁₁e₁+ a₂₁ e₂+…+ a_n1 e_n

А(e₂)= a₁₂ e₁+ a₂₂ e₂+…+ a_n2 e_n

……………………………….

А(e_n)= a_n1 e₁+ a_n2 e₂+…+ a_nn e_n

Тогда таблица (матрица) nnА =называетсяматрицей линейного преобразования А.

Таким образом,каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе.И наоборот,каждой матрице размерности nnсоответствует линейный оператор n- мерного пространства.