
- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •§3. Линейная комбинация векторов.
- •§4. Скалярное произведение векторов.
- •§5.Векторное произведение векторов.
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Размерность и базис векторного пространства.
- •§9. Евклидово пространство.
- •§9. Линейные операторы.
- •Глава 2. Матрицы и определители.
- •§1. Основные сведения о матрицах.
- •§2. Операции над матрицами.
- •Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:
- •§3. Определители квадратных матриц.
- •§4.Обратная матрица.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы:
- •§5. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений.
- •§1. Основные понятия и определения.
- •§2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2.1. Матричный метод (метод обратной матрицы).
- •§3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
- •§4. Система m линейных уравнений с n переменными.
- •§5. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии.
- •§1.Уравнение линии на плоскости.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •§3.Кривые второго порядка. Уравнение вида
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •§4. Системы координат.
- •Полярная система координат.
- •§5. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •5.1.Плоскость в пространстве.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •5. 4.1. Цилиндрические поверхности.
- •5.4.2 Поверхности вращения.
- •Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной
- •§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.
- •§7. Квадратичные формы.
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
- •Глава 5. Комплексные числа.
- •§1. Определение комплексного числа.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •§3. Тригонометрическая форма числа.
- •§4. Действия с комплексными числами.
- •§5. Показательная форма комплексного числа.
- •§6. Разложение многочлена на множители.
§3. Линейная комбинация векторов.
Определение. Линейной комбинацией
векторов,
,
. . .
с действительными коэффициентами,, . . .,,
называется вектор
.
Утверждения:
Если векторы
и
коллинеарны, то их линейная комбинация с некоторыми действительными числамии(≠0 и≠0) равна нулю:
Действительно,
и, наоборот, если
||
(самостоятельно).
Если векторы
,
и
- компланарны, то найдутся такие числа,,(≠0), что их линейная комбинация будет равна нулю ( и наоборот), т.е.
,
и
- компланарны
Определение.Линейно независимыми векторами на плоскости называются два вектора, если они не коллинеары; а в 3-ех мерном пространстве – три вектора, если они не компланарны.
Определение.Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку линейно независимых векторов.
Определение. Если три единичных вектора (длина которого равна единице) взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов, то они являются базой прямоугольной декартовой системы координат.
Обозначается
-ортыкоординат.
Система
координат называетсяправой,потому
что векторы
имеют такую же ориентацию, как
соответственно большой, указательный
и средний пальцы правой руки. Для
определения правого направления системы
координат может быть использованоправило правого винта:если винт
вкручивается в осьOZсо
стороны 0, то отвертка вращается отXкY.
Вектор
в прямоугольной декартовой системе
координат записывается в виде:
,
гдеax,
ay,
az– прямоугольные декартовы координаты
вектора
или проекции этого вектора на
соответствующие оси.
В прямоугольной декартовой системе
координат каждой точке М однозначно
соответствует вектор
,
который называется радиус-вектором
точки М. Декартовы координаты вектора
отнесенные
к
,
называются декартовыми координатами
точки М.
§4. Скалярное произведение векторов.
Пусть
и
- произвольные векторы, а- угол между ними:
Определение.
Скалярным произведением векторови
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между
ними:
=
cos(3.1)
Свойстваскалярного произведения:
=
- переместительный закон;
(
)
=
(
) =(
),=const– сочетательный закон относительно умножения на число;
(
+
) =
+
- распределительный закон относительно суммы векторов;
=
2=
2(3.2) –формула скалярного квадрата.
=
cos(
,
)
=
2
cos0
=
2.
Из (3.2) =
-длина вектора равна корню квадратному
из его скалярного квадрата.
= 0, если
и наоборот, если
= 0, то при
0 и
0 векторы
и
взаимно перпендикулярны – этоусловие перпендикулярности двух векторов:
= 0 (3.3)
Если рассматривать векторы
в
декартовой прямоугольной системе
координат, то
=xa
xb
+ ya
yb
+ za
zb
(3.4) -скалярное произведение
векторов
в координатной форме
Используя полученные равенства (3.1) и (3.4), получаем формулу для вычисления угла между векторами:
(3.5)
Пример.Найти (5+ 3
)(2
-
),
если
Пример.Найти угол между векторамии
,
если
.
Пример.Найти скалярное произведение (3- 2
)(5
- 6
),
если
Пример.При какомmвекторыи
перпендикулярны.
Пример.Найти скалярное произведение векторови
,
если