§3. Бесконечные и односторонние производные

I Бесконечные производные

Определение 1. Говорят, что функция имеет в точке x₀ бесконечную производную, если

.

При этом пишут или .

Пример 1. , :

.

II Односторонние производные

Определение 2. Правая и левая производные функции в точке x₀, определяются равенствами:

и .

Из общих теорем о пределах можно получить такую теорему.

Теорема 1. Функция имеет в точке x₀ производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные.

Пример 2. Для функции найти правую и левую производную в нуле.

,

.

Так как , то не существует.

Следующая теорема позволяет в некоторых случаях упростить вычисление односторонних производных.

Теорема 2. Пусть функция имеет в интервале конечную производную , причем, существует (конечный или нет) . Тогда в точке x₀ существует правая производная и .

Аналогичное утверждение имеет место и для левой производной.

В §2 была вычислена производная функции для : . Результат примера 1 ( ) с помощью теоремы 2 получается моментально:

.

Аналогично получается и . Совпадение односторонних производных означает, что и .

Замечание. Если у функции существуют конечные, не равные друг другу производные и , то у графика функции имеются не совпадающие правая и левая касательные в точке . Такая точка графика называется угловой. Если же производная (хотя бы односторонняя) равна + или , то это означает, что у графика имеется вертикальная касательная.

§4. Дифференцируемость функции

Определение. Говорят, что функция дифференцируема в точке x₀, если ее приращение можно представить в виде

(1)

где A – некоторое число, не зависящее от .

Теорема 1. Для того, чтобы функция , была дифференцируемой в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на :

.

Переходя к пределу при , получим

,

т.е. в точке x₀ существует производная и она равна A: .

Достаточность. Пусть существует конечная производная .

Тогда и, следовательно,

.

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

Формулу

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x₀, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что , а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3: . Она непрерывна в нуле, но не существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1.

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

,

следовательно, непрерывна в точке . Найдем производную функции в нуле (по определению!):

.

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в , синус предела не имеет. Итак, не существует, т.е. недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

Лекция 9