§2. Теорема о среднем значении

Теорема Ролля.Пусть функцияудовлетворяет условиям: 1) непре- рывна на; 2) дифференцируема на; 3). Тогда существует точкатакая, что.

Доказательство.В силу непрерывности функции на замкнутом промежутке существуют точкитакие, что,и, поэтому.

Для этих точек имеется 2 возможности: 1) они совпадают с концами промежутка; 2) хотя бы одна из них является внутренней точкой.

В первом случае из следует, что, то есть. Поэтому,.

Во втором случае, точка или, попавшая внутрь промежутка, является точкой экстремума функциии так какдифференцируема в этой точке, то по теореме Ферма.

Обе возможности приводят к тому, что внутри существует точкаc, в которой.

Замечание 1.На геометрическом языке теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривойравны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна осиOx. При этом требования непрерывности функциинаи дифференцируемости насущественны и не могут быть ослаблены.

Теорема Лагранжа.Пусть функциянепрерывна наи дифференцируема на. Тогда существует точкатакая, что справедлива формула:

. (1)

Доказательство.Введем вспомогательную функцию, определив её наравенством:

.

Эта функция, так же как и , удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля. Подберемтак, чтобы(третье условие теоремы Ролля):

.

Теперь к функции можно применить теорему Ролля:и:, т.е.

.

Теорема доказана.

Замечание 2.Теорему Лагранжа называют основной теоремой дифференциального исчисления, а формулу (1), записанную в виде

, (2)

называют формулой конечных приращений. Положим , а точкуc, лежащую междуxизапишем в виде, где. Тогда:

.

Эта формула даёт точное значение для приращения функции при любых конечных приращениях аргумента. Этим она отличается от формулы бесконечно малых приращений (§4, тема “Производная”)

,

из которой получается лишь приближенное равенство

,

справедливое для достаточно малых .

Замечание 3.Пусть. Тогда правая часть формулы (1) есть угловой коэффициент секущейAB. Геометрически теорема Лагранжа означает следующее: на графике функциимежду точкамиАиВнайдется точка, касательная в которой параллельная секущейAB.

Несмотря на то, что в формуле конечных приращений фигурирует неизвестное число с(или), эта формула имеет многочисленные приложения.

Пример 1.Доказать оценку

.

Для доказательства рассмотрим функцию . Тогда

,.

Значит, , где. Оценим производную функции

в точкес:

.

Умножая все части этого двойного неравенства на 0.2, получим:

.

Пример 2.Формула (1) позволяет доказывать некоторые полезные неравенства. Например,

,,

так как . Или

, если только: для.

Лекция 11

§3. Обобщение формулы конечных приращений

Теорема Коши.Пусть функциииудовлетворяют условиям: 1) непрерывны на; 2) дифференцируемы на; 3)на. Тогда существует точкатакая, что справедлива формула:

. (1)

Доказательство.Рассмотрим вспомогательную функцию. Она непрерывна наи дифференцируема на. Подберемтак, чтобы:

. (2)

С таким эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно:. Но, значити

.

Сравнивая эту формулу с (2), получим (1).

Замечание 1.Знаменатель левой части формулы (1) отличен от нуля. В противном случае к функцииможно было бы применить теорему Ролля и внутриполучить точку, в которой, что противоречит условию теоремы Коши.

Замечание 2.Может показаться, что теорема Коши не содержит ничего нового: ведь к каждой из функцийиможно применить формулу конечных приращений (2) из §2. Однако, теорема Лагранжа не гарантирует, что точкаодна и та же для различных функций.