III Таблица дифференциалов

Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

1. ,,.

2. ,.

3. ,.

4. . 5..

6. . 7..

8. . 9..

10. . 11..

Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

а)

б)

в)

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная xможет быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6)x– это только независимая переменная.

Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:

,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:

.

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции

;

для обратной функции

;

для функции, заданной параметрически

.

§8. Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производнаясама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2^гопорядка), и обозначают одним из символов

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению

.

II Производные некоторых функций

1. y=sinx, y=cosx

Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:

.

2. y=x^

Если , то, последовательно дифференцируя, получим,, и вообще:

.

Если же показатель степени натуральный, то:

3. y=a^x

, в частности,,.

4. y=lnx

,

.

III Некоторые правила

Очевидно, что и. Для производной

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

, где.

Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму

функцию: .

IV Функция, заданная параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:

Тогда

Пример.Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:

V Функция, заданная неявно

Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:

Тогда по определению:

.

Остается подставить в последнее выражение значение :

.

Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:

.

Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 10

§1. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка–внутренняяточка промежутка:.

Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словами для малых приращений аргументаприращение функции.

Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (еслидостаточно мало).

Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.

Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела

.

Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);

3) . Предположим, что. Тогда для близких к нулюразностное отношение. Если же, то и(для малых). В обоих случаях знакзависит от знака. Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака. Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:.

Замечание 1.Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции, которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная осиOx.

Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,

.

Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.