§13. Классификация точек разрыва

I Определение

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x),если эта функция не является непрерывной в точке x₀.

Определение непрерывности, т.е. равенство , подра-зумевает следующие три условия:

1) x₀  D(y);

2) существует и конечен;

3) .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка x₀ и будет точкой разрыва. К точкам разрыва относят и те точки, не принадлежащие области определения функции, в окрестности (хотя бы односторонней) которых функция определена. Примером служит точка x₀ =0 для функций и y=lnx.

II Точка устранимого разрыва

Точка x₀ называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если , существует и конечен, но f(x₀)≠b или .

Например, функция

имеет в нуле устранимый разрыв, ибо , а f(0)=0≠1. Еще один пример дает функция , которая не определена в нуле, но существует и конечен.

III Точка разрыва 1го рода

Точка x₀ называется точкой разрыва 1^го рода функции f(x), если в этой точке

функция имеет конечные, но не равные друг другу односторонние пределы:

f(x₀+0)≠ f(x₀ – 0).

Сама точка x₀ при этом может, как принадлежать, так и не принадлежать области D(y).

Разность f(x₀+0) – f(x₀ – 0) называется скачком функции в точке x₀.

Примеры.

1) f(x)=signx: f(0+0)=1, f(0–0)= –1.

2) f(x)=[x]: для любой целой точки f(k+0)=k, f(k–0)=k–1.

3) f(x)= : f .

4) f(x)= (самостоятельно).

IV Точка разрыва 2го рода

Точка x₀ называется точкой разрыва 2^го рода функции y=f(x), если в этой точке, хотя бы один из односторонних пределов функции равен  или не существует.

Примеры. 5) Для f(x)= в примере 4 §9 получено: f(0+0)=+.

6) f(x)= в нуле не имеет предела, ибо для последовательности значений аргумента , сходящейся к нулю, соответствующая последовательность значений функции не имеет предела.

7) См. пример 2 §9.

Замечание 1. При исследовании функции на непрерывность необходимо различать элементарные и неэлементарные функции. Например, – элементарная, следовательно, непрерывная всюду на D(y), а точки , не принадлежащие D(y), – это точки разрыва. Их тип устанавливается путем вычисления односторонних пределов. Функция же

не является, вообще говоря, элементарной, поэтому может иметь разрыв в любой точке. Но каждое из трех выражений, определяющих функцию, есть элементарное, а значит, непрерывно. Эта функция может иметь разрывы только в точках, в которых переходит с одного выражения на другое. Итак, точки возможного разрыва

Замечание 2. Монотонная ограниченная функция может иметь разрывы только 1^го рода (следствие теоремы 12 §9).

§14. Основные свойства непрерывных функций

1. Устойчивость знака. Если функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀)≠0, то в некоторой окрестности точки x₀ функция f(x) сохраняет знак.

2. Локальная ограниченность. Если функция f(x) непрерывна в точке x₀, то она ограничена в некоторой окрестности точки x₀.

3. Ограниченность на промежутке (1^я теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке , то она ограничена на этом промежутке.

4. Достижение наибольшего и наименьшего значений (2^я теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. , :

.

5. Прохождение через ноль (1^я теорема Больцано-Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и на его концах имеет значения разных знаков. Тогда . Если же f(x) еще и строго монотонная, то такая точка единственная.

Пример использования этого свойства: доказать, что уравнение имеет корень на интервале (0,1). Рассмотрим функцию . Она непрерывна всюду (как элементарная) и , а – значения разных знаков. Значит, . Это число c и есть корень уравнения .

На этом свойстве основан метод интервалов решения неравенств: непрерывная функция между своими нулями сохраняет знак.

6. Прохождение через промежуточные значения (2^я теорема Больцано-Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке , причем . Тогда

.

Другими словами, непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает и все промежуточные значения.

7. Существование обратной функции. Непрерывная строго монотонная функция имеет обратную также непрерывную строго монотонную с тем же направлением монотонности.

43