Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
30
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.1 Mб
Скачать

II Свойства сходящихся последовательностей и их пределов

1. Если последовательность сходится, то она ограничена (это свойство дока-зывается также, как аналогичное свойство б.м.)

2. Пусть . Тогда:

а) ;

б) ;

в) .

3.

4. Если , то все члены последовательности, начиная с некоторого номера, также положительны, и, более того, эти члены отграничены от нуля:.

Для доказательства достаточно в определении 3 положить . Очевидно, что подобное свойство справедливо и для.

5. Если и, тоограничена.

III Примеры вычисления пределов

1.

, ибо, аэталонная б.м.

2. это суммапервых членов геометрической прогрессии. Из элементарной математики известна формула для этой суммы

.

Если , тои. Значит. Если, тоимеет вид: 1, 0, 1, 0, … и предела не имеет. Остальные случаирассмотрим позже.

Задача (для самостоятельного решения). Пусть. Найти (если существуют) пределы следующих последовательностей: а); б); в); г).

§6. Бесконечно большие последовательности и их свойства

I Два определения

Определение 1 (язык «»). Последовательностьназывают бесконечно большой (б.б.) и пишут, если

.

Иными словами становится и остается больше любого наперед заданного сколь угодно большого числа.

Раскрывая неравенство с модулем, получим геометрическую иллюстрацию этого понятия.

Определение 2 (язык «окрестностей»). Последовательностьназывается б.б., если вне любой (сколь угодно большой)-окрестности нуля содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера(зависящего от). Другими словами, внутри такой окрестности содержится лишь конечное число членов.

Замечание.Если члены б.б. последовательностиположительны (отрицательны), то можно писать.

О таких б.б. говорят, что они определенного знака.

II Две эталонных б.Б.

1. бесконечно большая. Примеры:

2. бесконечно большая. Примеры:.

Между б.б. и б.м. последовательностями существует естественная связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема.Для того, чтобы последовательностьбыла бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательностьбыла бесконечно малой.

Докажем, например, необходимость. Пусть б.б. Возьмем произвольноеи положим. Существует номер, начиная с которого. Тогда. Итак,. Это означает, что

.

III Свойства б.Б. Последовательностей

1. Пусть б.б. Тогда:

а) неограниченна;

б) ибесконечно большие;

в) бесконечно большая;

г) если , тобесконечно большая;

д) если , тобесконечно большая;

2. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая.

Замечание 1.Сумма, разность и частное бесконечно больших может быть каким угодно.

Пример.Любой многочлен отесть б.б. Покажем это на конкретном примере:

.

Так как эталонная б.б., а, тоб.б.

Замечание 2.Запишем ряд б.б., отношения которых является б.м.:

Запись означает, что. Докажем, например, что. Обозначими. Тогда для

, т.к.. Следовательно, и.

Доказательство того, что

и

проведем позже, используя т.н. правило Бернулли-Лопиталя.

Лекция 4

§7. Теоремы о пределах последовательностей

Теорема 1..

Теорема 2( арифметические операции с пределами). Пусть последователь- ностиисходящиеся. Тогда сходящимися будут и такие последовательности:если только. При этом:

1)

2)

(здесь символ любой арифметической операции).

Ограничимся доказательством сходимости частного. Пусть , гдеи. Преобразуем частное следующим образом:

В полученном выражении, как линейная комбинация бесконечно малых, аограничена, т.к.. Следовательно,

. Это и доказывает:.

Теорема 3 (предельный переход в неравенствах). Пусть последовательностиисходящиеся. Тогда, если(или), то и. В частности:

а) если , то;

б) если , то.

Теорема 4 (достаточное условие сходимости). Еслии для всехсправедливо неравенство, то.

Для доказательства воспользуемся определением предела на языке окрестностей. Рассмотрим произвольную -окрестность числа. Обозначим ее. Так как, а так как. Тогда в силу неравенстваимеем:. Итак, для произвольной-окрестности мы нашли номер, начиная с которого членыпринадлежат этой окрестности. Это и означает, что.

Пример.Рассмотрим последовательность с общим членом.

Чтобы оценить сверху, заменим каждое слагаемое наибольшим (это первое слагаемое), а чтобы оценитьснизу, заменим слагаемые наименьшим (это последнее). Получим

или.

Подкоренные выражения обеих корней имеют вид , следовательно, сходятся к 1. Значит,.

Отсюда вытекает, что .

Замечание 1.При решении примера было использовано одно свойство элементарных функций, вытекающее из их непрерывности: если членыи еёпринадлежат области определения элементарной функции, то знак предела можно вносить под знак функции

.

Замечание 2.Обратим внимание на следующее. Общий членпредставляет собой суммуслагаемых, каждое из которых является бесконечно малой. Однако, здесь нельзя сказать, что сумма б.м. есть б.м., ибо число слагаемых неограниченно возрастает.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке MATANALIZ - 1