- •Раздел дифференциальное исчисление Тема введение в математический анализ
- •§1. Функции одной переменной: основные понятия
- •I Определение
- •II Способы задания функции
- •III Область определения и область значения функции
- •IV График функции
- •V Действия над функциями
- •VI Элементы поведения функции
- •VII Обратная функция
- •§2. Элементарные функции
- •I Основные элементарные функции
- •II Элементарные функции
- •III Примеры неэлементарных функций
- •§3. Последовательности: основные понятия, примеры
- •I Определение
- •II Элементы поведения и операции
- •III Примеры
- •§4. Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •I Два определения
- •II Две эталонные б.М.
- •III Основные свойства
- •§5 Предел последовательности
- •I Три определения
- •II Свойства сходящихся последовательностей и их пределов
- •III Примеры вычисления пределов
- •§6. Бесконечно большие последовательности и их свойства
- •I Два определения
- •II Две эталонных б.Б.
- •III Свойства б.Б. Последовательностей
- •§7. Теоремы о пределах последовательностей
- •§8. Монотонные последовательности. Число
- •I о пределе монотонной последовательности
- •II Число е
- •§9. Предел функции
- •I Общее определение
- •II Частные случаи. Важные понятия
- •III Односторонние пределы
- •IV Теоремы о пределах функций
- •§ 10. Замечательные пределы
- •I Первый замечательный предел
- •II Второй замечательный предел
- •§ 11. Эквивалентные б.М. И б.Б. Функции
- •I Сравнение б.М. И б.Б. Функций
- •II Эквивалентные функции: два определения
- •III Таблица эквивалентностей
- •IV Использование эквивалентностей для вычисления пределов
- •V Асимптотические формулы
- •§12. Понятие непрерывности функции
- •§13. Классификация точек разрыва
- •I Определение
- •II Точка устранимого разрыва
- •III Точка разрыва 1го рода
- •IV Точка разрыва 2го рода
- •§14. Основные свойства непрерывных функций
§ 10. Замечательные пределы
I Первый замечательный предел
Теорема 1..
Доказательство.Сначала докажем основное неравенство, справедливое. Для этого рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат и пустьточка окружности, лежащая в первой четверти. Черезпроведем луч, а через точкукасательную к окружности. Если радианная мераравна, тои. Рассмотрим три фигуры:, сектори. Очевидно,, что означает следующее:. Отсюда и получаем основное неравенство.
Далее докажем три леммы.
Лемма 1..
Для это часть основного неравенства. Если, тои поэтомуили. Но в интервалеи, следовательно,,и снова. Если, то. Пусть, наконец,. Тогда, а. И снова.
Лемма 2..
Это следствие одного из свойств б.м. функций: если прии, то ипри, т.е..
Лемма 3. .
Преобразуем: .
И снова, т.к. при, то ипри. Это же означает:.
Теперь можем доказать теорему. Пусть . Разделим все части основного неравенства на:.
Переходя к обратным величинам, получим:
. (1)
Применяя к полученному неравенству теорему 9 из предыдущего параграфа и учитывая, что , получим
.
Пусть теперь , тогдаи неравенство (1) принимает вид
.
Принимая во внимание четность и нечетность, и дляполучаем неравенство (1), а значит и
.
Равенство односторонних пределов и доказывает теорему.
Если объединить доказанную теорему с теоремой 10 из § 9, то можно получить более сильный результат.
Теорема 2.Пустьпроизвольная б.м. функция при. Тогда
.
Примеры.
1.
.
2. .
Сделаем замену . Тогдаипри. Поэтому
.
3. .
II Второй замечательный предел
В § 8 было доказано, что предел последовательности равен числу. Оказывается, этот результат справедлив и для функциипри(доказательство опустим). Переходя от бесконечно больших к бесконечно малым получим т.н. второй замечательный предел.
Теорема 3..
Более того, для любой приимеет место равенство
.
Примеры.
4.
.
Здесь знак предела был внесен под знак в связи с тем, что функциянепрерывная (смотри об этом в последующих параграфах).
5. .
Лекция 6
§ 11. Эквивалентные б.М. И б.Б. Функции
I Сравнение б.М. И б.Б. Функций
Пусть ипара б.м. или б.б. функций при.
Определение 1.Если, то говорят, что при:
1) б.м. имеет более высокий порядок малости, чем б.м.;
2) б.б. имеет более низкий порядок роста, чем б.б..
В обоих случаях пишут: “при”.
Примеры.
1. при, ибо.
2. при, ибо.
Отсюда получим, например,
,.
3. Известная цепочка соотношений (,) озна- чает, что при
,.
Замечание 1.Грубо говоря, соотношениеозначает, что б.м.стремится к0быстрее, чем б.м., а б.б.стремится кмедленнее, чем б.б..
Определение 2.Если, то говорят, что бесконечно малыеиимеют одинаковый порядок малости, а бесконечно большиеиодинаковый порядок роста при.
Определение 3.Еслине существует, то б.м. или б.б.иназывают несравнимыми.
Примером несравнимых б.м. (при ) служат функции
и .
II Эквивалентные функции: два определения
Определение 4.Если, то пару б.м. или б.б. функцийиназывают эквивалентными прии пишут :при.
Примерами эквивалентных б.м. при служат,,.
Приведем несколько свойств символа ~:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Замечание 2.Для упрощения применения эквивалентностей удобно парулюбыхфункций называть эквивалентными, если предел их отношения равен 1 (иногда уточняют: «эквивалентные в широком смысле»).
Для б.м. функций можно дать еще одно определение эквивалентности (равносильное определению 4).
Определение 5.Бесконечно малые функции эквивалентны, если их разность есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них:
и.