V Асимптотические формулы

В силу второго определения эквивалентности соотношения равносильно или . Таким образом, таблицу эквивалентностей можно записать в форме т.н. асимптотических формул. Приведем лишь некоторые из них. Все остальные студенты должны уметь выводить самостоятельно.

Итак, при :

, ,

, ,

, .

Эти асимптотические формулы можно применять в суммах, разностях и под знаками функций. Однако, не всегда они дают ответ на поставленный вопрос.

Примеры.

7.

.

Здесь использован тот факт, что по определению символа имеем: .

8. = – частное бесконечно малых может быть любым. Такая ситуация означает, что соответствующая асимптотическая формула недостаточно точная. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будут даны уточнения:

, .

Задача. Вычислить пределы:

а) ; б) .

Лекция 7

§12. Понятие непрерывности функции

Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в точке x₀ и в некоторой ее окрестности.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

. (1)

Так как , то соотношение (1) можно записать в следующем виде:

,

т.е. для непрерывной функции можно знак предела вносить под знак функции.

Дадим еще одно определение непрерывности равносильное определению 1. Для этого в равенстве (1) перенесем f(x₀) в левую часть и внесем под знак преде-

ла. Так как условия x x₀ и (x – x₀) 0 равносильны, то получаем:

(2)

Разность x – x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Δx, а разность f(x)– f(x₀) – приращением функции и обозначается Δy. В этих обозначениях равенство (2) принимает вид:

. (3)

Это соотношение и есть еще одно определение непрерывности, которое можно сформулировать так:

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если ее приращение Δy=o(1) при Δx 0.

Пример. Докажем непрерывность y=sinx в произвольной точке x₀ .

Полученное выражение есть произведение ограниченной функции на бесконечно малую (в силу леммы 2 §10 при Δx 0 ). По одному из свойств б.м. функций получаем Δy=o(1) при Δx 0, что и доказывает непрерывность y=sinx в произвольной точке x₀ .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ слева (справа), если

.

Например, функция y=[x] непрерывна справа в любой целой точке, т.к. [k+0]=[k]=k, в то же время слева она не является непрерывной [k–0]=k–1≠[k].

Из общих теорем о пределах функций легко получить такие результаты.

Теорема 1. Функция f(x) непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке, как справа, так и слева, т.е.

f(x₀+0)= f(x₀ – 0)= f(x₀)

Теорема 2. Пусть функции f(x)и g(x) непрерывны в точке x₀, а функция F(u) непрерывна в точке u₀=f(x₀). Тогда и функции f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x): g(x) (при условии g(x₀)≠0 ) и F(f(x)) непрерывны в точке x₀.

Если бы мы могли доказать непрерывность всех основных элементарных функций (как мы это сделали для синуса), то из теоремы 2 мы получили бы еще один важный результат.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке ее области определения (входящей в эту область с некоторой окрестностью).

Определение 4. Говорят, что функция f(x) непрерывна на промежутке , если она непрерывна в любой точке промежутка (в граничных точках промежутка подразумевается одностороння непрерывность).