Научное помсобие 1All Tom 1 UA

Фізичні основи механіки

Координати тіла можна задавати декількома способами. 1. Табличний спосіб.

При цьому способі для кожного моменту часу вказують значення координати тіла і представляють цю залежність у вигляді таблиці. Наприклад:

Приклад: для рівномірного прямолінійного руху координата залежить від часу: x = x0 + v t .

Якщо тіло рухається по площині, то можна описувати залежність координати у від координати x, тобто y = f (x) . При цьому координати у і x залежать

від часу, тобто y = f (t) , x = f (t) . Залежність y = f (x) називається рівнянням траєкторії.

Приклад: x = A1 sin ωt ,

y = A2 cosωt .

Здійснивши перетворення, отримаємо:

x2 + y2 =1.

A12 A22

Траєкторією тіла є еліпс.

19

Фізичні основи механіки

4.4 Швидкість

Для характеристики руху тіла в механіці вводиться поняття швидкості. Нехай у момент часу t тіло знаходилося в точці 1, положення якої задається ра- діус-вектором rr. За час t воно здійснило переміщення r і опинилося в точці

2 (рис. 4.5).

Швидкість тіла визначається як границя відношення переміщення r до

за часом.

Вектор швидкості завжди спрямований за дотичною до траєкторії у на-

З (4.2) випливає, що шлях dS, який пройдений за елементарно малий час dt визначатиметься таким чином:

dS = v(t)dt .

Шлях, який пройдений тілом за кінцевий проміжок часу від t1 до t2, знаходиться інтегруванням:

Шлях, що пройдений тілом під час рівномірного руху, залежить від часу лінійно:

20

Якщо тіло рухається нерівномірно, то величина, яка дорівнює відношенню пройденого шляху S до проміжку часу t, протягом якого шлях був пройдений, називається середньою швидкістю за цей проміжок часу:

(Середні значення величин позначатимемо включенням цих величин в кутові дужки).

4.5 Прискорення

Щоб охарактеризувати зміну швидкості тіла з часом, використовується величина, що називається прискоренням.

Нехай у момент часу t тіло із швидкістю v1 знаходилося в точці 1. Через

певний час t воно перемістилося в точку 2, при цьому його швидкість буде дорівнювати v2 (рис. 4.7 а).

Рисунок 4.7 Беручи до уваги (4.1), можна записати:

Прискорення ( ar) – це векторна фізична величина, яка характеризує швидкість зміни вектора швидкості і дорівнює похідній вектора швидкості за ча-

сом. Прискорення спрямоване за вектором приросту швидкості vr.

При прямолінійному русі напрям швидкості залишається сталим, тому вектор прискорення ar або співпадає за напрямом з вектором швидкості, або протиставлений йому. Якщо модуль прискорення при цьому не змінюється з часом, то в першому випадку рух буде рівноприскореним, у другому – рівносповільненим. Швидкість руху у будь-який момент часу визначатиметься співвідношенням:

21

Фізичні основи механіки

де v0 – початкова швидкість тіла, тобто швидкість у момент часу t=0. Знак

«плюс» відноситься до рівноприскореного руху, знак «мінус» – до рівносповільненого.

Інтегруючи функцію (4.8) в межах від 0 до довільного моменту часу t, знайдемо формулу для розрахунку пройденого шляху (див. формулу (4.3)):

Відзначимо, що формула (4.9) дає правильний результат для пройденого шляху тільки в тому випадку, якщо за час t напрям руху точки (знак швидкості) не змінюється.

Якщо швидкість змінюється з часом довільним чином, то величина, що

дорівнює відношенню зміни швидкості v до проміжку часу t, протягом якого змінювалася швидкість, називається середнім прискоренням за цей проміжок

часу

Тангенціальне прискорення характеризує швидкість зміни швидкості за

величиною і дорівнює першій похідній модуля швидкості за часом:

швидкості, якщо dv < 0, то aτ спрямоване протилежно вектору швидкості.

22

Фізичні основи механіки

Нормальне (доцентрове) прискорення характеризує швидкість зміни швидкості за напрямом і спрямоване по радіусу до центру кривизни траєкторії.

Чисельне значення нормального прискорення визначається формулою:

Якщо напрям швидкості не змінюється, то аn = 0.

§5 Кінематика обертального руху

Обертальний рух – це рух, при якому всі точки абсолютно твердого тіла

рухаються по колах, центри яких лежать на одній прямій. Ця пряма називається

віссю обертання. Кола, по яких рухаються точки тіла, лежать у площинах, перпендикулярних цій осі.

5.1 Характеристики обертального руху

Розглянемо обертання матеріальної точки відносно осі OO′ (рис. 5.1).

Кутова швидкість ( ω) – векторна фізична величина, що r характеризує швидкість обертання і дорівнює першій похідній

кутового переміщення за часом:

с

Напрям вектора кутової швидкості співпадає з напрямом вектора кутового переміщення.

23

Фізичні основи механіки

Обертання зі сталою кутовою швидкістю називається рівномірним, при цьому:

Рівномірне обертання прийнято характеризувати періодом обертання і частотою обертання.

Період обертання (Т) – час, протягом якого виконується один повний оберт. За час, рівний періоду, тіло повертається на кут 2π. Звідси випливає, що

Частота обертання (ν) – число обертів за одиницю часу:

[ν] = 1c .

Вектор кутової швидкості ω може змінюватися як за рахунок зміни швидкості обертання (в цьому випадку він змінюється за величиною), так і за

рахунок повороту осі обертання в просторі (в цьому випадку змінюється на-

прям кутової швидкості). Зміну вектора кутової швидкості з часом характери-

зують кутовим прискореннямr.

Кутове прискорення ( ε) – векторна фізична величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості і дорівнює першій похідній кутовій швидкості за часом

[ε] = радс2

Розглянемо випадок, коли вісь обертання нерухома.

1.Якщоr dω > 0, то рух прискорений. При цьому вектор кутового прискорення

εспівпадає за напрямом з вектором кутової швидкості ω (рис. 5.2 а).

Рисунок 5.2

24

Фізичні основи механіки

2.Якщоr dω < 0, то рух сповільнений. При цьому вектор кутового прискорення

εспрямований протилежно вектору кутової швидкості ω (рис. 5.2 б).

Вектори, напрям яких зв’язується з напрямом обертання ( dϕr , ω, ε), називаються аксіальними векторами або псевдовекторами.

При рівнозмінному обертальному русі мають місце співвідношення, аналогічні формулам, що описують рівнозмінний прямолінійний рух (див. (4.8) і (4.9)):

5.2 Зв’язок між лінійними і кутовими характеристиками

Точка, що знаходиться від осі обертання на відстані R (рис. 5.3), при повороті тіла на кут ϕ за час dt проходить шлях

Звідси випливає

Кінематичні величини, що характеризують обертальний рух і формули, що описують цей рух, аналогічні відповідним величинам і формулам поступального руху. Ця аналогія простежується в таблиці 10.1, що наведена на с. 52.

25

Фізичні основи механіки

Розділ 2. Динаміка поступального і обертального руху

§6 Динаміка матеріальної точки і поступального руху твердого тіла

Динаміка – розділ механіки, у якому вивчають рух тіл з урахуванням причин, що викликають цей рух.

6.1Основні поняття динаміки

1.Маса (m) – скалярна фізична величина, що є мірою інертних і гравітаційних властивостей тіла. Може служити мірою енерговмісту.

[m] = кг.

Основні властивості маси:

-маса в класичній механіці не залежить від швидкості руху;

-маса є величиною адитивною, тобто маса системи тіл дорівнює сумі мас тіл, що входять в систему;

-маса замкнутої системи залишається величиною сталою, тобто виконується закон збереження маси.

Густина (ρ) – скалярна фізична величина, характеристика матеріалу, яка чисельно дорівнює масі одиниці об’єму.

[ρ] = мкг3 .

2. Імпульс тіла ( pr ) – векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси тіла на його швидкість.

Напрям вектору імпульсу тіла співпадає з напрямом вектора швидкості.

3. Сила ( Fr ) – векторна фізична величина, що є мірою механічної дії на тіло інших тіл або полів. Сила характеризується модулем (числовим значенням), напрямом і точкою прикладання. Пряма, уздовж якої спрямована сила, називаєть-

ся лінією дії сили.

[F] = Н(ньютон) .

Дія сили може бути статичною і динамічною. Статична дія виявляється у виникненні деформацій, динамічне – у виникненні прискорень.

Вид формули для розрахунку сили залежить від природи взаємодій.

26

Фізичні основи механіки

6.2Види взаємодій

Вкласичній механіці доводиться мати справу з гравітаційними і електромагнітними взаємодіями, які проявляються по-різному і тому можуть бути представлені різними конкретними силами. Ці сили прийнято виражати законами.

Якщо одне з взаємодіючих тіл – Земля, а тіло масою m знаходиться на висоті h від поверхні Землі, то закон всесвітнього тяжіння записується у вигляді

де М – маса Землі;

R – середній радіус Землі.

На поверхні Землі (або поблизу поверхні) h ≈ 0. В цьому випадку

F = G MR2m .

2. Електромагнітні взаємодії.

Окремими випадками проявлення електромагнітних взаємодій є сили пружності і сили тертя. В курсі механіки вони не розглядаються з атомістичної точки зору, оскільки цим займається фізика твердого тіла. Для сил пружності і тертя можна отримати лише наближені, емпіричні (тобто засновані на досліді) формули.

а) Закон Гука.

Під дією зовнішніх сил виникають деформації (тобто зміна розмірів і форми тіл). Якщо після припинення дії сил відновлюються колишня форма і розміри тіла, то деформація називається пружною.

27

Фізичні основи механіки

Для пружних деформацій справедливий закон Гука*.

де Fx – проекція сили пружності на вісь х; k – жорсткість пружини;

x – абсолютне подовження пружини.

Однорідні стрижні при розтягуванні або стисканні поводяться подібно пружині. Для них також справедливий закон Гука, який прийнято формулювати таким чином.

Механічна напруга прямо пропорційна відносному подовженню

[E] = мН2 = Па.

Модуль Юнґа (модуль пружних деформацій) – це фізична величина, що характеризує пружні властивості матеріалу. Залежить від природи матеріалу.

б) Закон сухого тертя.

Сила тертя ковзання пропорційна модулю сили нормальної реакції опори і не залежить від площі зіткнення тіл (рис. 6.2)

________________________________________________________________________________

*Гук Роберт (1635–1703), англійський фізик. *Юнґ Томас (1773–1829), англійський учений.

28