Научное помсобие 1All Tom 1 UA

Електростатика. Постійний струм

§36 Графічне зображення електростатичних полів

Графічно електростатичне поле прийнято зображати за допомогою силових ліній і еквіпотенціальних поверхонь.

Еквіпотенціальна поверхня – це геометричне місце точок електростатичного поля, потенціали яких однакові. Робота, що виконується силами електростатичного поля під час переміщення електричного заряду вздовж однієї і тієї ж еквіпотенціальної поверхні, дорівнює нулю.

Силова лінія (лінія напруженості) – це лінія, дотична до якої в кож-

ній точці співпадає з напрямом вектора напруженості E (рис. 36.1).

Особливості силових ліній електростатичного поля:

1. 1Силові лінії починаються на позитивних зарядах, закінчуються на нега-

Еквіпотенціальні поверхні звичайно креслять так, що під час переходу від однієї еквіпотенціальної поверхні до сусідньої потенціал змінюється на одну і ту ж величину Δϕ. Чим менше вибрана різниця потенціалів Δϕ, тим детальніше поданий розподіл потенціалу в просторі.

Для більшої наочності креслять також силові лінії, які перпендикулярні поверхням рівного потенціалу. Там, де при постійній різниці потенціалів Δϕ сусідні еквіпотенціальні поверхні найбільш близько підходять одна до однієї, напруженість електричного поля максимальна. Навпаки, в місцях, де відстані між ними великі, буде мала і напруженість електричного поля E .

Приклади картин силових ліній і еквіпотенціальних поверхонь.

1. Поле точкового заряду.

129

Електростатика. Постійний струм

2. Система точкових зарядів.

3. Поле рівномірно зарядженої площини.

§37 Зв’язок між напруженістю електричного поля і потенціалом

Електростатичне поле можна описати за допомогою векторної величини

E або за допомогою скалярної величини ϕ. Знайдемо зв’язок потенціалу з напруженістю електричного поля на прикладі електричного поля точкового заря-

потенціал поля збільшується. Це означає, що чисельне значення похідної зрос-

татиме убік, протилежний вектору E . Для того, щоб вказати напрям найшвидшого зростання потенціалу, вводять векторну величину, яка називається ґрадієнтом потенціалу.

Ґрадієнт потенціалу (позначається gradϕ) – це вектор, спрямований у

бік максимального зростання потенціалу і чисельно дорівнює зміні потенціалу, що припадає на одиницю довжини в цьому напрямі. Таким чином, ґрадієнт потенціалу характеризує ступінь неоднорідності поля.

Встановимо, як зв’язані напруженість електричного поля E і ґрадієнт потенціалу gradϕ. Помістимо в точку А вказаного електричного поля пробний

130

Електростатика. Постійний струм

позитивний заряд qпр. Нехай під дією поля він зміщується із точки з потенціалом ϕ в точку з потенціалом ϕ − dϕ. При цьому виконується робота

Це означає, що напруженість електричного поля чисельно дорівнює зміні потенціалу, що припадає на одиницю довжини. Формулу (37.3) можна записати у векторному вигляді

Знак «–» говорить про те, що вектор напруженості спрямований у бік убування потенціалу. Формула (37.4) справедлива для будь-якого електростатичного поля.

Розглянемо однорідне електричне поле. Прикладом такого поля є поле між двома різнойменноr зарядженими пластинами. У кожній точці однорідного поля

вектор E зберігає своє чисельне значення і напрям. У цьому випадку

де d – відстань між еквіпотенціальнимі площинами з потенціалами ϕ1 і ϕ2 U = ϕ1 − ϕ2 – різниця потенціалів (напруга).

§38 Розрахунок електростатичних полів

38.1 Теорема Гаусса

Теорема Гаусса* дозволяє у ряді випадків знайти напруженість поля більш просто, ніж з використанням формули для напруженості поля точкового заряду і принципу суперпозиції електростатичних полів.

Введемо поняття потоку вектора напруженості електростатичного поля через довільну поверхню.

_________________________________________________________________________________

*Гаусс Карл Фрідріх (1777–1855), німецький математик, астроном і фізик.

131

Електростатика. Постійний струм

Потоком вектора напруженості електричного поля через елементарну ділянку поверхні dS називається величина

Згідно з теоремою Гаусса для електростатичного поля:

Потік вектора напруженості електростатичного поля крізь довільну замкнену поверхню дорівнює алгебричній сумі зарядів, які охоплюються цією поверхнею, поділеній на добуток ε0ε:

яку називають вектором електростатичної індукції (електричним зміщенням).

У цьому випадку теорему Гаусса можна записати таким чином:

Потік вектора електричного зміщення крізь довільну замкнену поверхню дорівнює алгебричній сумі зарядів, які охоплюються цією поверхнею.

38.2Приклади розрахунку електростатичних полів

Уцьому розділі при розрахунку електростатичних полів передбачається, що провідники знаходяться у вакуумі, тобто ε=1.

38.2.1Поле рівномірно зарядженої нескінченно довгої нитки

Припустимо, що нескінченно довга нитка заряджена рівномірно з лінійною густиною заряду τ. Лінійною густиною заряду називається величина, яка чисе-

132

Електростатика. Постійний струм

льно дорівнює заряду, що припадає на одиницю довжини. За умов рівномірного розподілу заряду:

[τ] = Клм .

Як замкнену поверхню виберемо коаксіальний циліндр радіусу r і висоти l (рис. 38.2). З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці повинна бути спрямованою за радіальною прямою, перпендикулярною осі нитки (заряд вважається позитивним). Потік Ф через торці циліндра дорівнює нулю, оскільки лінії напруженості перпендикулярні осі. Потік через бічну поверхню дорівнює:

Φ = ∫EdS = E 2πrl .

За теоремою Гаусса (див. формулу (38.3)):

Напруженість поля зарядженої нитки визначається лінійною густиною заряду і відстанню від нитки. Поле негативно зарядженої нитки відрізняється

тільки напрямом напруженості E .

Отримаємо формулу для розрахунку різниці потенціалів поля, що створюється рівномірно зарядженою нескінченно довгою ниткою. Робота А, що виконується силами електростатичного поля при переміщенні пробного заряду qпр

Як вже наголошувалося, істотним є не саме значення потенціалу, а різниця потенціалів. Порівнявши отриманий вираз для розрахунку роботи з формулою (35.9), можна зробити висновок, що різниця потенціалів двох точок поля нитки визначається співвідношенням

133

Електростатика. Постійний струм

38.2.2 Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини

Припустимо, що площина заряджена рівномірно з поверхневою густиною заряду σ. Поверхневою густиною заряду називається величина, яка чисельно дорівнює заряду, що припадає на одиницю площі. За умовою рівномірного розподілу заряду

Застосувавши теорему Гаусса, можна показати, що напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної площини визначається таким чином:

Це означає, що на будь-яких відстанях від нескінченної площини напруженість поля однакова за величиною (рис. 38.3).

Дві рівномірно, з однаковою густиною σ, різнойменно заряджені нескінченні паралельні площини утворюють однорідне електричне поле. Напруженість Е поля між площинами визначається співвідношенням:

++ означає, що напрям вектора E в будь-якій точці прохо-

++ дить через центр сфери, а величина напруженості зале-

жить від відстані r від центру сфери. Як гауссовою поверхню вибирають концентричну із зарядженою сферою поверхню радіусу r. Якщо r > R, то всередину поверхні по-

трапляє увесь заряд q, що розподілений по сфері. Застосувавши теорему Гаусса, можна отримати формулу для розрахунку напруженості поля рівномірно зарядженої сферичної поверхні:

134

Електростатика. Постійний струм

Це означає, що зовні кулі напруженість убуває за таким ж законом, як у поля точкового заряду.

Сферична поверхня радіусу r < R не міститиме зарядів, тому усередині сфери, зарядженої з постійною поверхневою густиною, поле відсутнє, тобто

Е = 0.

Розділ 11. Електричне поле в речовині

§39 Електричний диполь

Електричним диполем називається система двох однакових за величиною різнойменних точкових зарядів +q і –q, відстань l між якими значно менше від-

[ p] =Кл м.

Якщо Θ = π2 (точка лежить на прямій, що проходить через центр диполя перпе-

ндикулярно осі диполя), то

135

Електростатика. Постійний струм

Характерним для напруженості поля диполя є те, що вона убуває з від-

станню від диполя як 1r3 , тобто швидше, ніж напруженість поля точкового заряду (що убуває як 1r2 ). На рис. 39.3 показані лінії

напруженості Er поля диполя.

Рисунок 39.4

Таким чином, поведінка диполя в електричному полі визначається його дипольним моментом.

§40 Діелектрики в електричному полі

Діелектрики (ізолятори) – це речовини, що не здатні проводити електричний струм. Ідеальних ізоляторів в природі не існує. Усі речовини хоча б в найменшому ступені проводять електричний струм. Проте, речовини, які називаються діелектриками, проводять струм в 1015 – 1020 разів гірше, ніж речовини, які називаються провідниками.

Згідно з молекулярно-кінетичною теорією всі речовини складаються з атомів або молекул. У свою чергу, атоми складаються з позитивно заряджених ядер і негативно заряджених електронів, відстань між якими є дуже малою (~10–10 м), тому атоми і молекули, що знаходяться в електричному полі, можна розглядати як диполі. Якщо діелектрик внести в електричне поле, то це поле і сам діелектрик зазнають істотних змін.

136

Електростатика. Постійний струм

40.1 Класифікація діелектриків

За своєю структурою діелектрики можна розділити на три групи.

1. Речовини, молекули яких мають симетричну будову (N2, H2, O2, CH4,

CO2).

40.2 Поляризація діелектриків

Заряди, що входять до складу діелектрика, називаються зв’язаними. Покинути межі молекули зв’язані заряди не можуть. Під дією електричного поля зв’язані заряди можуть лише зміщуватися щодо положень рівноваги.

Якщо зовнішнє електричне поле відсутнє, то дипольні моменти молекул діелектрика або дорівнюють нулю (неполярні молекули), або розподілені за напрямами в просторі хаотичним чином (полярні молекули). У обох випадках сумарний дипольний момент діелектрика дорівнює нулю.

Під дією зовнішнього електричного поля молекули діелектрика набувають дипольні моменти або повертаються так, що їх дипольні моменти встановлюються за напрямом поля. У результаті діелектрик набуває дипольного моменту

i=1

де pri – дипольний момент однієї молекули.

137

Електростатика. Постійний струм

Це означає, що в діелектрику під дією електричного поля виникають поля-

ризаційні заряди.

Виникнення у діелектрику поляризаційного заряду під дією електричного поля називається поляризацією діелектрика.

Для кількісного опису поляризації діелектрика вводять векторну величину, яку називають поляризованістюr .

Поляризованість ( PV ) – це векторна фізична величина, яка чисельно дорівнює дипольному моменту одиниці об’єму діелектрика:

де V – фізично нескінченно малий об’єм, що оточує дану точку.

У слабких полях поляризованість ізотропних діелектриків пропорційна напруженості електричного поля (рис. 40.3) в тій же точці:

40.3 Поле усередині діелектрика

Розглянемо дві нескінченні паралельні площини з рівними за величиною, але різними за знаком зарядами. Між пластинами виникає однорідне електричне

поле напруженістю E0 . Напруженість поля у вакуумі визначатиметься зарядами

на пластинах

E0 = εσ0 ,

де σ – поверхнева густина заряду на пластинах.

Внесемо в це поле пластинку з діелектрика (рис. 40.4). Внаслідок поляризації на лівій грані діелектрика утворюється надлишок негативних поляризаційних (зв’язаних) зарядів з поверхневою густиною − σ′. На правій грані – надлишок позитивних зарядів з поверхневою густиною + σ′. Зв’язані заряди створю-

ють додаткове електричне поле напруженістю Ei :

Ei = εσ′ .

0

138