Научное помсобие 1All Tom 1 UA

Фізичні основи механіки

Крива на рис. 9.3 в відображає потенціальну енергію вільних електронів в металі і за його межами. Вільні електрони в металі знаходяться в потенціальній ямі. Стінки ями майже вертикальні. Це означає, що електрична сила, яка діє на електрони на межі металу з вакуумом дуже велика. Гладке горизонтальне дно ями означає, що на вільні електрони усередині металу сила не діє.

Аналіз потенціальних кривих взаємодії частинок у твердому тілі дозволяє встановити характер і межі руху частинок, пояснити причини теплового розширення і т.п. Розгляд потенціальних кривих вільних електронів в металах дозволяє зрозуміти і пояснити такі явища, як термоелектронна емісія, виникнення контактної різниці потенціалів, термоелектрорушийної сили та ін.

9.3 Закон збереження механічної енергії

Матеріальна точка може одночасно мати і кінетичну, і потенціальну енергію. Сума кінетичної і потенціальної енергій точки називається її повною механічною енергією W.

Розглянемо систему, яка складається з N матеріальних точок, що взаємодіють одна з одною. Сили взаємодії між точками вважатимемо консервативними. Система також знаходиться під впливом зовнішніх сил, як консервативних, так і неконсервативних. Визначимо роботу, що виконується цими силами.

Сумарна робота всіх сил за теоремою про зміну кінетичної енергії:

A=Wк2 −Wк1 .

Здругого боку, робота А дорівнює сумі робіт, виконаних зовнішніми консервативними і неконсервативними силами, а також внутрішніми консервативними:

A = Aконсзовніш + Aнеконсзовніш + Aконсвнутр.

Робота внутрішніх консервативних сил дорівнює зменшенню взаємної потенціальної енергії тіл:

49

Фізичні основи механіки

Ми прийшли до закону збереження механічної енергії.

Повна механічна енергія замкненої системи матеріальних точок (тіл), між якими діють тільки консервативні сили, зберігається, тобто не змінюєтьсязчасом.

Дія неконсервативних сил (наприклад, сил тертя) зменшує механічну енергію системи. Такий процес називається дисипацією енергії («дисипація» означає «розсіяння»). Сили, що приводять до дисипації енергії, називаються дисипативними. При дисипації енергії механічна енергія системи перетворюється в інші види енергії (наприклад, у внутрішню енергію). Перетворення йде відповідно до загального закону природи – закону збереження енергії.

Закон збереження енергії застосовується до всіх без виключення процесів в природі. Його можна сформулювати таким чином.

Повна енергія ізольованої системи завжди залишається незмінною, енергія лише переходить з однієї форми в іншу.

§10 Зіткнення тіл

Граничними, ідеалізованими видами зіткнень є абсолютно непружний і абсолютно пружний удари. Абсолютно непружним називається удар, при якому потенціальна енергія пружної деформації не виникає; кінетична енергія тіл частково або повністю переходить у внутрішню. Після удару тіла рухаються з однаковою швидкістю (тобто як одне тіло) або перебувають у спокої. При такому ударі виконується тільки закон збереження імпульсу. Механічна енергія не зберігається – вона частково або повністю переходить у внутрішню.

Абсолютно пружним називається удар, при якому повна механічна енергія тіл зберігається. Спочатку кінетична енергія частково або повністю переходить в потенціальну енергію пружної деформації. Потім тіла повертаються до первинної форми, відштовхуючи одне одного. У результаті потенціальна енер-

бру рухаються уздовж прямої, що проходить через їх

центри (рис. 10.1).

Припустимо, що кулі рухаються поступально (тобто не обертаючись), і що вони утворюють замкнену систему. Позначимо

50

Для чисельних розрахунків всі вектори необхідно спроектувати на вісь х

(рис. 10.1).

2. Абсолютно пружний удар.

Запишемо закон збереження імпульсу і закон збереження механічної ене-

ргії:

Розв’язуючи отриману систему рівнянь, знайдемо швидкості куль після удару.

Щоб виконати розрахунки, необхідно спроектувати вектори швидкостей на вісь х (рис. 10.1). Якщо при розрахунку якась проекція швидкості виявиться від’ємною, то це означає, що вектор цієї швидкості спрямований убік, протилежний напряму осі х.

На закінчення відзначимо, що величини, що характеризують динаміку обертального руху, і формули, що описують цей рух, аналогічні відповідним величинам і формулам поступального руху. Ця аналогія простежується в таблиці

10.1.

51

Фізичні основи механіки

Таблиця 10.1. Зіставлення формул кінематики і динаміки поступального і обертального рухів

52

Фізичні основи механіки

Розділ 4. Елементи спеціальної теорії відносності

§11 Елементи спеціальної теорії відносності

Теорія відносності – це фізична теорія, що розглядає просторово-часові закономірності, справедливі для будь-яких фізичних процесів.

Спеціальна теорія відносності вивчає властивості простору і часу в інерціальних системах відліку за відсутністю полів тяжіння. Спеціальну теорію відносності також називають релятивістською теорією.

11.1 Принцип відносності Галілея

Зіставимо описи руху частинки в інерціальних системах відліку К і К′.

наково.

Таким чином, перетворення Галілея дозволяють визначити координати в одній інерціальній системі відліку за відомими координатами в іншій інерціальній системі відліку.

Продиференцюємо перше з рівнянь (11.1) за часом, врахувавши, що t'= t :

________________________________________________________________________________

*Галилей Галілео (1564–1642), італійський фізик і математик.

53

Фізичні основи механіки

Рівняння (11.3) є законом додавання швидкостей у класичної механіці. Продиференцюємо за часом (11.3) і отримаємо рівність:

( v = const , dvdt = 0 )

Таким чином, прискорення точки відносно систем К і К′ однакові. Маса тіла при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої не міняється, отже

Системи К і К′ були узяті довільно. Тому отриманий результат означає наступне:

1.Закони механіки однаково формулюються у всіх інерціальних системах відліку.

2.Усі механічні явища у всіх інерціальних системах відліку протікають однаково за однакових початкових умов.

Ці твердження називаються принципом відносності Галілея. З принципу відносності випливає, що ніякими механічними дослідами, проведеними всередині інерціальної системи відліку, неможливо встановити, чи система перебуває у стані спокою, чи рухається прямолінійно і рівномірно.

Величини, які мають одне і те ж чисельне значення у всіх системах відліку, називаються інваріантними (invariantis– що не «змінюється»). В перетвореннях Галілея інваріантними величинами є маса, прискорення, сила, час. Неінваріантні: швидкість, імпульс, кінетична енергія.

11.2Постулати спеціальної теорії відносності

Воснові спеціальної теорії відносності лежать два постулати: принцип відносності Ейнштейна і принцип сталості швидкості світла. Принцип відносності Ейнштейна є розповсюдженням механічного принципу Галілея на все без виключення фізичні явища.

1.В будь-яких інерціальних системах відліку всі фізичні явища (механічні, оптичні, теплові і т.д.) протікають однаково (за однакових умов). Це означає, що рівняння, які виражають закони природи, інваріантні відносно до перетворень координат і часу при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

2.Швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку, вона не залежить від швидкості руху джерела і приймача світла і є граничним значенням швидкості передачі сигналу.

c = 2,998 108 м/с= 3 108 м/с.

54

Фізичні основи механіки

11.3 Перетворення Лоренца

Перетворення, які задовольняють постулатам Ейнштейна, називаються перетвореннями Лоренца*. Якщо система К′ рухається відносно системи К із швидкістю v, спрямованої уздовж осі х (рис.11.1), то ці перетворення мають вигляд:

Проаналізуємо перетворення Лоренца.

Перетворення Лоренца при цьому перейдуть в перетворення Галілея. Це означає, що виконується принцип відповідності. Принцип відповідності полягає в тому, що всяка нова теорія містить в собі стару теорію як граничний випадок.

Це означає, що перетворення не мають сенсу. Звідси випливає, що рух з швидкістю v > c неможливий.

3. З перетворень Лоренца видно, що часові і просторові координати взаємозв’язані.

Використовуючи перетворення Лоренца, можна отримати релятивістсь-

Якщо v і v’ багато менші від швидкості світла, то

V = v′ + v

Це означає, що рівняння (11.7) переходить в класичний закон додавання швидкостей (див. формулу (11.3)).

________________________________________________________________________________

*Лоренц Хендрік Антон (1853–1928), нідерландський фізик.

55

Фізичні основи механіки

11.4Наслідки з перетворень Лоренца

Зперетворень Лоренца випливає ряд незвичайних з погляду класичної ньютонівської механіки наслідків.

1.Поняття одночасності подій відносне, а не абсолютне, як це визначається в класичній механіці. Це означає, що одночасні події, які відбуваються в різних точках системи К′, будуть неодночасними в системі К.

2.Відносність проміжку часу між подіями

де Δτ0 – проміжок часу, виміряний за годинником, що рухається разом з тілом (власний час);

Δτ – проміжок часу в системі відліку, що рухається із швидкістю v.

З отриманої формули виходить, що власний час менше часу, відліченого за годинником, що рухається відносно тіла.

3. Скорочення лінійних розмірів у напрямі руху (лоренцове скорочення)

де l0 – довжина тіла в системі відліку, відносно якої воно покоїться (власна довжина);

l – довжина тіла в системі відліку, відносно якої воно рухається із швидкістю v. Змінюються тільки подовжні розміри, поперечні залишаються сталими.

11.5Основні співвідношення релятивістської динаміки

1.Ейнштейн показав, що маса тіла є функцією швидкості руху:

56

Фізичні основи механіки

2. Релятивістський імпульс.

p = mv ,

Замінимо масу за формулою (11.10) і отримаємо:

Графік залежності імпульсу від швидкості зображено на рис. 11.3.

Рівняння другого закону Ньютона виявляється інваріантним відносно перетворень Лоренца, якщо під імпульсом розуміти вираз (11.11).

p Отже, релятивістський вираз другого закону Ньютона має вигляд:

57

Фізичні основи механіки

У разі малих швидкостей v << c формулу (11.16) можна перетворити таким чином:

На закінчення слід зазначити, що теорія відносності не заперечує існування абсолютних величин і понять. Вона лише встановлює, що ряд понять і величин, які вважалися в класичній фізиці абсолютними, насправді є відносними.

Не слід також думати, що з появою теорії відносності класична фізика втратила своє значення. Релятивістські ефекти для звичайних макроскопічних тіл і звичайних швидкостей такі незначні, що лежать далеко за межами практичної точності. У більшості галузей техніки класична фізика «працює» так саме добре, як і раніше.

• Зверніть увагу!

Історично склалося так, що в навчальних і наукових текстах з фізики можуть спостерігатися наступні ситуації:

1.Одним і тим же терміном позначаються різні явища або поняття.

2.Одне і те ж поняття називається різними термінами.

3.Термін застосовується до об’єктів, до яких його застосовувати не можна.

4.Різні за значенням поняття позначаються близькими за звучанням термінами.

Для того, щоб навчальний матеріал сприймався адекватно, в кінці кожного розділу вводиться рубрика «Зверніть увагу!», в якій даються спеціальні пояснення.

Розрізняйте наступні, близькі за звучанням, терміни:

Інертність – властивість різних матеріальних об’єктів набувати різні прискорення при однакових зовнішніх діях з боку інших тіл. Інертність властива різним тілам у різній мірі. Мірою інертності тіла у поступальному русі є маса, а при обертальному русі – момент інерції.

58