Навчальний посибник

Фізичні основи механіки

Якщо a 0 , an 0 , то змінюється тільки напрям швидкості, величина

швидкості не змінюється. Криволінійний рух буде рівномірним.

Якщо an 0 , то напрямок руху не змінюється, рух стає прямолінійним.

6. Прямолінійний рух точки з постійним прискоренням.

Рівняння прискорення, швидкості і переміщення будуть мати вигляд:

Якщо тіло рухається нерівномірно, то величина, що дорівнює відношен-

ню пройденого шляху S до проміжку часу t, протягом якого був пройдений шлях, називається середньою швидкістю за цей проміжок часу

8. Окремим випадком прямолінійного рівноприскореного руху є рух тіл під дією сили тяжіння. Сила тяжіння повідомляє всім тілам, які знаходяться в однорідному полі сили тяжіння, однакове прискорення (прискорення вільного

падіння) g=9,8 м/с2. Рівняння руху утворюються шляхом заміни а g, S h в

рівняннях (5.7), (5.8).

9. Кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є кутове переміщення, кутова швидкість, кутове прискорення. Кутова швидкість і кутове прискорення вводять аналогічно швидкості і прискоренню при поступа-

У разі рівномірного обертання =0.

21

Фізичні основи механіки

5.2Алгоритми розв’язання задач та методичні поради

5.2.1.Першу частину фізичного аналізу – читання умов і виконання короткої записи умов – у всіх методичних вказівках ми будемо опускати, оскільки вона зазвичай не викликає у студентів труднощів.

У кінематиці розрізняють пряму і зворотну задачу. Пряма задача полягає

втому, щоб за відомим законом руху знайти швидкість і прискорення. Для цього використовують співвідношення (5.1) і (5.3). Зворотна задача – знаходження закону руху за відомим рівнянням швидкості або прискорення. Для цього використовують співвідношення (5.2).

5.2.2.Задачі з кінематики розв’язують за наступним алгоритмом .

1.Виконайте схематичний рисунок. Нарисуйте траєкторію тіла. Виберіть початок відліку, зв’яжіть з ним систему координат. Початок відліку зручно суміщати з положенням тіла в початковий момент часу. Осі потрібно спрямовувати так, щоб полегшити розкладання векторів на складові.

2.Позначте на рисунку всі кінематичні характеристики руху: переміщення, початкову та кінцеву швидкості, прискорення.

Якщо характер руху на різних ділянках різний, то весь шлях розбийте на окремі ділянки і рух на кожній з них розгляньте окремо.

3.Проаналізуйте за умовою задачі, як рухається тіло, і запишіть рівняння швидкості і переміщення для даного руху.

4.У вигляді допоміжних рівнянь запишіть додаткові умови задачі.

5.Порівняйте число невідомих у отриманій системі з числом рівнянь. Якщо число невідомих дорівнює числу рівнянь, то можна приступити до її розв’язання щодо шуканої величини. Якщо ні, то ще раз проаналізуйте умову і допишіть необхідні рівняння.

5.2.3.Крім загальних правил, врахуйте деякі доповнення.

а) Розв’язуючи задачі на рух тіл, кинутих вертикально вгору, зверніть увагу на наступне. Рівняння швидкості і переміщення для тіла, кинутого верти-

кально, дають загальну залежність швидкості v і висоти h від часу t для всього часу руху. Вони справедливі (зі знаком «мінус») не тільки для уповільненого підйому вгору, а й для подальшого рівноприскореного падіння, тому що після миттєвої зупинки у верхній точці траєкторії рух відбувається з тим же прискоренням. Під h при цьому розуміють координату в даний момент часу – відстань від початку відліку до точки.

б) Рух тіл, кинутих під кутом до горизонту, розглядають як результат накладення двох прямолінійних одночасних рухів по осях 0х і 0у. За відсутності опору повітря уздовж осі 0х тіло рухається рівномірно, а вздовж осі 0у з постійним

_______________________________________________________________________________________________________________________

*Алгоритм – спосіб розв’язання обчислювальних та інших задач, точно приписує, як і в якій послідовності отримати результат.

22

Фізичні основи механіки

прискоренням g. Розв’язання всіх задач такого типу починають з розкладання вектора швидкості по осях. Кінематичні рівняння записують окремо для кожної осі. Врахуйте, що час руху вздовж осі 0х дорівнює часу руху вздовж осі 0у.

в) Розв’язання задач про обертання твердого тіла навколо нерухомої осі (за умови, що кутове прискорення = const) засноване на застосуванні формул (5.12) і (5.13). У разі необхідності треба використовувати формули зв’язку між лінійними і кутовими характеристиками.

5.3. Приклади розв’язання задач

Приклад 5.3.1. Пароплав йде по річці від пункту А до пункту В зі швидкістю v1=10 км/г, а назад – зі швидкістю v2=16 км/г. Знайти середню швидкість v пароплава і швидкість u течії річки.

Розв’язання. Середня швидкість дорівнює відношенню пройденого шляху S до проміжку часу t, протягом якого був пройдений цей шлях.

Для знаходження швидкості течії річки використовуємо закон додавання швидкостей. Позначимо швидкість руху пароплава у стоячій воді через vп. Швидкість руху пароплава з пункту А в пункт В

v1 vï u . (7)

________________________________________________________________________________________________________________________

У розрахунках прискорення вільного падіння g прийнято рівним 10 м/с2.

23

Фізичні основи механіки

v 12,3 км/г, u 3 км/г.

Приклад 5.3.2. Залежність координати х від часу t дається рівнянням

x At Bt 2 Ct3 , де А=2 м/с, В=3 м/с2 и С=4 м/с3. Знайти: а) залежність швидкості v і прискорення a від часу, б) відстань S, яка пройдена тілом, швидкість v і прискорення a тіла через час t=2 с після початку руху.

Розв’язання. а) Встановимо характер руху: тіло рухається прямолінійно, нерівномірно. За відомим законом руху необхідно знайти залежність швидкості v і прискорення a тіла від часу. Для цього скористаємося визначеннями цих величин. За визначенням швидкість:

(Швидкість дорівнює першій похідній шляху за часом). Знайдемо похідну:

Прискорення за визначенням дорівнює першій похідній швидкості за часом

При прямолінійному русі прискорення спрямоване уздовж однієї і тієї ж прямої, тому можна записати:

24

Фізичні основи механіки

З аналізу формули (6) випливає, що прискорення залежить від часу. Таким чином, можна уточнити характер руху: тіло рухається прямолінійно з перемінним прискоренням.

б) Шлях, пройдений тілом дорівнює різниці початкової та кінцевої координат:

Початкова координата х0=0, тому S x .

Для того, щоб знайти чисельні значення шляху, швидкості і прискорення через 2 с після початку руху, підставимо чисельні значення параметрів А, В, С і часу t у відповідні рівняння.

x S At Bt 2 Ct3 2 2 3 22 4 23 24 (м) ;

v A 2Bt 3Ct 2 2 2 3 2 3 4 22 38 (м/с) ; a 2B 6Ct 2 3 6 4 2 42 (м/с2 ) .

Отримаємо

S=24 м; v =38 м/с; a=42 м/с2.

Приклад 5.3.3. Залежність швидкості тіла від часу задана рівнянням vx 1 6t . Написати рівняння залежності координати від часу x f t , якщо в початковий

момент часу (t=0) тіло перебуває в точці з координатою х0=2 м. Обчислити шлях, пройдений тілом за 10 с.

Розв’язання. Спосіб 1. Встановимо характер руху: тіло рухається прямолінійно, оскільки змінюється тільки одна координата х. Порівнюючи задану формулу залежності швидкості від часу: vx 1 6t з формулою (5.6): v v0 at , робимо

висновок, що рух рівноприскорений з прискоренням а=6 м/с2 і початковою швидкістю v=1 м/с. Координата тіла в будь-який момент часу дорівнює

де х0=2 м – початкова координата, S – пройдений шлях.

Характер руху відомий рівноприскорений прямолінійний. Тому для того, щоб написати рівняння залежності шляху від часу, можна скористатися готовою формулою

25

Розв’язання. Виконаємо рисунок (рис. 5.2). Початок відліку сумістимо з початковим положенням тіла. Вісь 0y направимо вниз по напрямку руху тіла. Вкажемо на рисунку: висоту h, з якої падає тіло; висоту h1, на якій знаходилося тіло

26

Вектор повного прискорення також можна розкласти на складові:

Звідки

27

Фізичні основи механіки

Підставивши записані співвідношення у формулу для розрахунку радіуса, отримаємо

Підставивши чисельні значення величин у формулу (6), отримаємо

R=316 м.

Приклад 5.3.6. М’яч кинули зі швидкістю v0=10 м/с під кутом =30 до горизонту. На яку висоту h підніметься м’яч? На якій відстані S від місця кидання він впаде на землю? Який час t він буде в русі?

них прямолінійних рухів уздовж осей 0х і 0у. За відсутності опору повітря уздовж осі 0х тіло рухається рівномірно, а вздовж осі 0у з постійним прискоренням g.

Розкладемо вектор початкової швидкості на осі. Кінематичні рівняння

28

Фізичні основи механіки

Підставивши чисельні значення величин у формулу (6), отримаємо t 1 c.

У момент падіння координата х дорівнює відстані, яку пролетів м’яч. Підставивши знайдене значення часу в рівняння (2), розрахуємо S: S 8,7 м.

Для знаходження висоти підйому розрахуємо час підйому tп: tп 0,5 с. Підставимо це значення в рівняння (4), отримаємо: h 1,25 м.

Приклад 5.3.7. Точка рухається по колу радіусом 10 см з постійним тангенціальним прискоренням. Знайти тангенціальне прискорення точки, якщо відомо, що в кінці п’ятого оберту після початку руху лінійна швидкість точки дорівнює

80 см/с.

Розв’язання. Встановимо характер руху точки – прискорений обертальний, початкова швидкість дорівнює нулю. Запишемо формули залежності кутової швидкості та кута повороту від часу.

Доповнимо систему рівняннями, що зв’язують лінійні і кутові характеристики.

29

Фізичні основи механіки

Приклад 5.3.8. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу надається рівнянням A Bt Ct 2 Dt3 , де В=1 рад/с,

С=1 рад/с2, и D=1 рад/с3 (рис. 5.5). Знайти радіус колеса, якщо відомо, що у кін-

ці другої секунди руху для точок, що лежать на ободі коле-

са, нормальне прискорення дорівнює аn=3,46 102 м/с2.

Розв’язання. Встановимо характер руху колеса – прискорений обертальний. Нормальне прискорення точки, що рухається по колу, визначається формулою:

тобто кутова швидкість дорівнює першій похідній кута повороту за часом. Знайдемо похідну:

Підставимо отримані співвідношення у формулу для розрахунку нормального прискорення і виразимо радіус R:

30