Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Навчальний посибник

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.07 Mб
Скачать

Електромагнетизм

12.2.2. Розрахунок індукції B магнітного поля проводиться або на підставі закону Біо-Савара-Лапласа та принципу суперпозиції полів, або на підставі теореми про циркуляцію вектора напруженості магнітного поля (закону повного струму).

1.Розрахунок полів, створених найпростішими провідниками зі струмом (відрізком, круговим витком і т.д.), проводиться за допомогою формул (12.2) – (12.7). Вони отримані із закону Біо-Савара-Лапласа. Якщо в задачі немає спеціальних застережень, то ці формули використовують в готовому вигляді, без виведення.

2.Розрахунок полів, створених кількома найпростішими провідниками, проводять за допомогою формул (12.2) – (12.7) і принципу суперпозиції полів (12.8). Для того, щоб знайти векторну суму, спочатку знаходять напрямок

векторів магнітної індукції Bi полів, створюваних кожним провідником окремо, потім складають вектори за правилом додавання векторів. Далі розраховують модуль результуючого вектора.

3.Розрахунок полів, створених провідником зі струмом, який є комбінацією відрізків, дуг, кіл і т.д., проводять за наступним алгоритмом:

розбити цю комбінацію на складові частини так, щоб можна було розрахувати магнітну індукцію поля цих частин за формулами (12.2) – (12.7);

визначити напрямок векторів магнітної індукції Bi полів, створюваних

кожною частиною окремо, потім скласти їх за правилом додавання векторів;

розрахувати модуль результуючого вектора.

4.Розрахунок симетричних магнітних полів проводять за допомогою закону повного струму. Через точку, в якій потрібно визначити вектор B , проводять замкнутий контур l, що співпадає з лінією індукції поля. При цьому важливо, щоб для всіх точок цього контура виконувалося співвідношення

const . У цьому випадку кут між B и dl дорівнює 0 , cos0 1. Рів-i

няння (12.9) при цьому набуває простий вигляд:

N

Bl 0 Ik .

k 1

12.2.2. Якщо в задачі потрібно знайти напруженість H поля в вакуумі, то,

знайшовши індукцію B описаними вище способами, напруженість розраховують, використовуючи співвідношення (12.1).

12.2.3.Задачі про силову дію однорідного магнітного поля на провідники

іконтури зі струмом розв’язують за наступним алгоритмом.

1.Зробити схематичний рисунок, на якому зобразити провідник або контур зі струмом і напрям силових ліній магнітного поля. Відзначити кути між напрямками магнітної індукції і струму в провіднику. Якщо контур складається з декількох прямих провідників, то кути треба відзначати для кожного провідника.

151

Електромагнетизм

2.Визначити напрямок сил, що діють на провідник або на кожен елемент контуру, проставити сили на рисунку.

3.Записати рівняння (12.10) або (12.14). При необхідності додати вираз, що визначає обертаючий момент, що діє на контур зі струмом. Знайти шукану величину.

12.2.4.Якщо в задачі розглядається рівновага провідника зі струмом в магнітному полі, то вкажіть не тільки силу Ампера, але і всі інші сили, що діють на провідник або контур. Умову рівноваги для провідника запишіть у вигляді:

Fi 0 . Далі запишіть закони сил. В результаті отримаєте рівняння для визна-

чення шуканої величини.

Контур зі струмом в магнітному полі під дією обертального моменту повертається так, що кут між магнітним моментом pm і магнітною індукцією B зменшується. При =0 настає стан стійкої рівноваги контура в магнітному полі. Умова рівноваги для контуру записується у вигляді: M i 0 . Далі запишіть

вирази для моментів сил. В результаті отримаєте рівняння для визначення шуканої величини.

12.2.5. Задачі про силову дію магнітного поля на заряджені частинки вирішуються тими ж методами, що і задачі з механіки. Різниця лише в природі сил. Алгоритм розв’язання, тому, виглядає аналогічно.

1.Виконати рисунок, вказати на ньому напрям вектора магнітної індукції B , вектора швидкості частинки, проставити знак її заряду.

2.Якщо швидкість частинки перпендикулярна вектору магнітної індукції B , то під дією сили Лоренца частинка буде рівномірно обертатися по колу.

3.Якщо швидкість частинки направлена під кутом до вектора індукції B магнітного поля, то треба розкласти швидкість на дві складові. Одна з них по-

винна бути спрямована перпендикулярно вектору B , друга паралельно йо-

му. Таке розкладання дозволяє розглядати рух частинки як складання двох рухів: рівномірного переміщення уздовж поля зі швидкістю vII і рівномірного обертання по колу зі швидкістю v в площині, що перпендикулярна век-

тору магнітної індукції B . У результаті частинка рухається по гвинтовій лінії (спіралі). Крок h гвинтової лінії (відстань між сусідніми витками ) h vII T , де Т період обертання.

4.Вказати напрям сили Лоренца. Напрям сили Лоренца визначається за правилом лівої руки. При використанні цього правила звернути увагу на знак заряду частинки. Сила тяжіння, що діє на елементарні частинки мізерно мала в порівнянні з силами електромагнітного поля, тому, якщо в завданні немає спеціальних застережень, її не враховують.

5.Записати рівняння руху частинки – другий закон Ньютона. Врахувати, що сила Лоренца надає рухомій частинці нормальне прискорення, не змінюючи модуля швидкості. Якщо для знаходження невідомої величини записаного рівняння виявиться недостатньо, то додати рівняння кінематики.

12.2.6.Якщо частинки рухаються в схрещених електричному і магнітному полях, то схема розв’язання задачі зберігається (див. п. 12.2.5), але додається

152

Рисунок 12.4

Електромагнетизм

сила, що діє з боку електричного поля: Fел qE . При визначенні напрямку Fел врахуйте знак заряду: якщо q 0, то Fел спрямована протилежно вектору напруженості електричного поля E ; якщо q 0, то напрямки Fел і E збігаються.

12.2.7. Розв’язуючи задачі на розрахунок магнітних полів при наявності магнітних середовищ, пам’ятайте, що магнітна проникність феромагнетика

B

 

залежить від магнітного поля всередині речовини.

 

1

Тому між вектором магнітної індукції B і напру-

2

 

женістю H поля, що намагнічує немає пропорцій-

3

 

ної залежності.

 

Нелінійна залежність між В і Н різна для різ-

0

 

H них феромагнетиків. Вона наводиться в довідниках

5у вигляді отриманих експериментально кривих намагнічування (див. «Таблиці фізичних величин»,

4

 

п. 3.5.9).

 

 

Внаслідок явища

магнітного гистерезиса

 

 

 

Рисунок 12.3

крива намагнічування феромагнетика (рис. 12.3) не

 

збігається з кривою його

розмагнічування. Тому

 

 

для відшукання зв’язку між В і Н в феромагнетику користуються кривої намагнічування тільки в тих випадках, коли відомо, що аналізований в задачі стан феромагнетика виник в процесі його намагнічування. При цьому необхідно, щоб на початку цього процесу феромагнетик не мав залишкової намагніченості, інакше крива намагнічування не проходитиме через точку О і , отже, не збігається з основною кривою намагнічування, що наводиться в довідниках.

12.3 Приклади розв’язання задач

Приклад 12.3.1. Два паралельних нескінченно довгих дроти, по яких в одному напрямку течуть струми силою I=60 А, розташовані на відстані d=10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію В в точці, що відстоїть на відстані r1=5 см від одного провідника і на відстані r2=12 см – від іншого.

 

B

 

B2

A

B1

 

 

r2

 

r1

 

D

 

+

 

I

d

+

I

C

Розв’язання. Виконаємо рисунок (рис. 12.4). Будемо вважати, що струми спрямовані за рисунок. Визначимо напрямок векторів індукції

B1 і B2 полів, що створюються в точці A кож-

ним струмом окремо, використовуючи правило правого гвинта, і вкажемо їх на рисунку. За принципом суперпозиції

B B1 B2 .

Складемо вектори B1 і B2 за правилом

паралелограма і знайдемо напрямок вектора B . Використовуючи теорему косинусів, знайдемо модуль вектора B :

153

Електромагнетизм

B B2

B2

2B B

2

cos .

(1)

1

2

1

 

 

Оскільки провідникинескінченнодовгі, то:

B

0 I ,

B

0 I .

(2)

1

2 r1

2

2 r2

 

 

 

 

Середовище, в якому знаходяться провідники, не вказано, тому вважаємо, що вони знаходяться у вакуумі. У цьому випадку μ=1.

З трикутника ADC знайдемо cos . За теоремою косинусів:

d 2 r 2

r 2

2r r

cos ,

 

1

2

1

2

 

 

 

r2

r2

d 2

(3)

cos 1

2

 

.

 

 

2r1r2

 

 

Обчислимо значення cos , підставивши дані: cos =0,576. Вирази для В1 і В2 підставимо в (1) і отримаємо формулу для розрахунку В:

B

0 I

1

 

1

 

2cos .

(4)

r 2

r 2

 

2

 

 

r1r2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

Значення магнітної сталої визначається за таблицею «Основні фізичні сталі», п. 3.1. Підставивши чисельні значення величин у формулу (4), отримаємо

B 0,286 мТл.

Приклад 12.3.2. Два кругових витка розташовані в двох взаємно перпендикулярних площинах так, що центри цих витків збігаються. Радіус кожного витка R=2 см, по витках течуть струми I1=I2=5 А. Знайти індукцію В магнітного поля в центрі цих витків.

B1

B

Розв’язання. Виконаємо рисунок, виберемо

напрямок

 

 

струмів у витках (рис. 12.5). Позначимо буквою О точку,

I2

 

яка є центром витків. Користуючись правилом правого

 

гвинта, визначимо напрями векторів магнітної індукції

 

 

O

B2

B1 і B2 в цій точці. За принципом суперпозиції:

 

I1

 

B B1 B2 .

(1)

Рисунок 12.5

 

Складемо ці вектори за правилом паралелограма і вкаже-

 

мо напрямок вектора B . Модуль вектора магнітної інду-

кції визначимо за теоремою Піфагора.

 

 

 

 

B B2

B2 .

(2)

 

 

1

2

 

Індукція магнітного поля в центрі кругового струму визначається за формулою:

154

 

 

Електромагнетизм

 

B 0 I

,

(3)

2R

 

 

 

де R – радіус витка.

 

 

 

Радіуси витків однакові, сила струму однакова. Це означає, що

 

 

B1 B2 .

 

(4)

Підставимо (3) у формулу (2), отримаємо:

 

 

 

B

0 I 2 .

(5)

 

2R

 

Середовище, в якому знаходяться провідники, не вказано, тому вважаємо, що вони знаходяться у вакуумі: μ=1. Значення магнітної сталої визначається за таблицею «Основні фізичні сталі», п. 3.1.

Підставивши чисельні значення величин у формулу (5), отримаємо

B 4,4 10 4 Тл.

Зверніть увагу! Якщо змінити напрямки струмів у витках, то зміниться тільки напрямок вектора магнітної індукції результуючого поля, чисельне значення буде таким же.

Приклад 12.3.3. Струм I = 20 А йде по довгому провіднику, зігнутому під пря-

мим кутом. Знайти напруженість H магнітного поля в точці, що лежить на бісектрисі цього кута і віддаленої від вершини кута на відстані а=10 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Виконаємо рисунок, виберемо напрямок

1

 

 

 

 

 

 

 

струму в провіднику, вкажемо точку А (рис. 12.6). У

1

 

 

 

 

 

 

даному випадку не можна скористатися формулою

I

r0

A

H1,H2

 

 

для розрахунку поля нескінченно довгого провідника,

C

 

 

 

 

 

 

оскільки прямі обмежені з одного боку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r0

 

 

 

Розіб’ємо провідник на частини 1 і 2. За прин-

 

1

 

 

2

 

ципом суперпозиції полів напруженість магнітного

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

I

2

 

поля в точці А дорівнює векторній сумі напруженос-

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тей H1 і H2 полів, створюваних кожною частиною

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 12.6

 

провідника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H H1 H2 .

(1)

Визначимо напрямки H

1

і H

2 в точці А за правилом правого гвинта. Ці векто-

ри перпендикулярні площині рисунка, спрямовані до нас, тому зображаємо їх у вигляді точки, укладеної в коло. Напрямок векторів збігається, тому можна від векторної суми перейти до скалярної:

H H1 H2 .

(2)

155

Електромагнетизм

Для знаходження чисельного значення Н1 і Н2 скористаємося формулою для розрахунку напруженості поля, утвореного відрізком провідника зі струмом, оскільки точка А лежить поблизу одного з кінців відрізка.

H

I

(cos 1 cos 2 ) ,

(3)

4 r0

 

 

 

де r0 – відстань від точки до провідника. Кути 1 і 2 вказані на рис. 12.6. Точка А лежить на бісектрисі прямого кута, тому

r asin 45

a 2

.

(4)

 

0

2

 

 

 

 

 

З рис. 12.6 випливає, що якщо провідник нескінченно довгий, то для першої ча-

стини 1 прямує до 0 ( 1 0), 2=135 . cos 135 cos(90 45 ) sin 45 .

Перетворимо формулу (3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 I

cos 0

 

 

 

 

2I

 

 

2

 

 

I

2 1

 

 

H1

 

sin 45

 

 

 

 

.

(5)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4 a

 

 

 

2

 

4 a

 

 

 

 

 

 

 

4 a

 

 

 

 

 

 

Для другої частини провідника 1' =45 ; '2 прямує до 180 Отримаємо:

 

 

2 I

cos 45

 

 

 

 

2I

 

2

 

 

 

I

2 1

 

H2

 

cos 180

 

( 1)

 

 

.

4 a

 

 

 

 

2

 

 

4 a

 

 

 

 

 

 

 

 

4 a

 

 

 

 

 

Напруженість поля в точці А:

H 2

I

2 1

 

I

2 1 .

 

4 a

 

 

 

 

 

 

2 a

Підставивши чисельні значення величин у формулу (7), отримаємо

H 77 А/м.

( '2 180 ).

(6)

(7)

Приклад 12.3.4. У соленоїді довжиною l=20 см і діаметром D=5 см треба отримати магнітне поле напруженістю Н=1 кА/м. Знайти число ампер-витків IN соленоїда і розрахувати напругу U, яку треба прикласти до кінців обмотки, якщо соленоїд зроблений з мідного дроту діаметром d=0,5 мм. Поле соленоїда вважати однорідним.

Розв’язання. За умовою задачі поле соленоїда вважається однорідним. У цьому випадку напруженість поля розраховується за формулою:

H I n ,

(1)

де n Nl густинанамотування(числовитків, щоприпадаєнаодиницюдовжини). Зробимозамінув(1) ізнайдемочислоампер-витків:

156

 

 

 

 

 

 

Електромагнетизм

 

H

I N

.

 

 

(2)

 

 

 

 

l

 

 

 

I N Hl .

 

(3)

Напругу, яку треба прикласти до кінців обмотки, можна знайти, викорис-

товуючи закон Ома для однорідної ділянки кола:

 

 

U I R ,

 

(4)

де R – опір обмотки.

lдр

 

 

 

 

R

,

(5)

Sдр

 

 

 

 

 

де – питомий опір міді, lдр – довжина дроту, Sдр – площа поперечного перерізу дроту.

Sдр

d

2

.

(6)

4

 

 

 

 

 

Знайдемо довжину дроту. Щоб намотати один виток, потрібен шматок дроту, довжина якого дорівнює довжині кола перерізу соленоїда πD. Якщо витків N, то довжина всього дроту

lдр N D .

 

(7)

Підставимо співвідношення (5), (6), (7) в рівняння (4), отримаємо:

 

U I 4 N D

4 I N D .

(8)

d 2

d 2

 

Число ампер-витків визначається формулою (3). Зробимо заміну в (8):

U

4 DHl .

(9)

 

d 2

 

Значення питомого опору міді визначається по «Таблицям фізичних величин», п. 3.5.8. Підставивши чисельні значення величин у формули (3) і (9), отримаємо

I N 200 ампер-витків, U 2,5 В.

Приклад 12.3.5. Яку похибку ми допускаємо при знаходженні напруженості магнітного поля в центрі соленоїда, вважаючи соленоїд з прикладу 12.3.4 нескінченно довгим?

Розв’язання. Допустима похибка

 

(H1 H2 ) 100% ,

(1)

 

H1

 

157

Електромагнетизм

де Н1 – напруженість поля всередині нескінченно довгого соленоїда, Н2 – напруженість поля всередині соленоїда кінцевої довжини.

 

 

 

Напруженість

 

поля

всередині

соленоїда

R

 

r

кінцевої довжини визначається формулою:

2

B

 

 

I n cos 1

 

 

 

 

 

1

 

 

cos 2 ,

 

 

0

 

x

 

H2

(2)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

l

 

де n

N густина намотування, кути 1 і 2 вка-

 

Рисунок 12.7

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зані на рис. 12.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка О знаходиться в центрі соленоїда, тому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 1

l

2

 

 

 

l

 

 

,

(3)

 

 

 

 

 

 

 

l2 D2

 

 

 

(l 2)2 (D 2)2

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

cos 1

 

l

 

.

 

(4)

 

 

 

 

l 2 D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зробимо заміну в (2), отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H2 I n

l

 

 

I N

 

 

.

(5)

 

 

 

l 2 D2

l2 D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підставивши

чисельні значення

величин

у

 

 

формулу (5),

отримаємо:

H2 970 А/м. Н1 за умовою дорівнює 1000 А/м. Допущена похибка

 

 

 

 

(1000 970)

100% 3% .

 

 

 

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 12.3.6. Знайти циркуляцію вектора магнітної індукції B по контуру l Напрямок обходу контуру вказано на рис.12.8, величини струмів I1=I2=1 А,

I3=2 А.

I1 I2 I3

Розв’язання. За законом повного струму циркуляція ве-

 

ктора магнітної індукції B у вакуумі по довільному ко-

 

нтуру дорівнює добутку магнітної сталої на алгебраїчну

 

суму струмів, які охоплюються цим контуром.

 

l

 

N

 

 

 

Рисунок 12.8

Bdl

0 Ik .

(1)

l

k 1

 

Визначимо знаки струмів. Для цього знайдемо напрямки силових ліній кожного струму за правилом правого гвинта (див. рис. 12.8). Якщо напрямок обходу ко-

158

Електромагнетизм

нтуру збігається з напрямком силових ліній, то струм береться зі знаком «+», якщо не збігається – зі знаком «–». Для зазначеного на рисунку обходу контуру

Bdl

0 I1 I2 I3 .

(2)

l

 

 

Підставивши чисельні значення величин у формулу (2), отримаємо

Bdl 2,51 10 6 Тл м.

l

Приклад 12.3.7. Два прямолінійних довгих паралельних провідника знаходяться на відстані d1=10 см один від одного. По провідникам в одному напрямку течуть струми I1=20 А і I2=30 А. Яку роботу Al (на одиницю довжини проводників) треба здійснити, щоб збільшити відстань між ними до d2=20 см?

Розв’язання. Виконаємо рисунок, вкажемо напрямки струмів (рис. 12.9). Якщо по провідниках течуть струми одного напряму, то вони будуть притягатися.

 

 

d1

 

 

Будемо вважати , що другий провідник знаходиться в

 

 

 

 

магнітному полі, створеному першим провідником. На

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

I

другий провідник буде діяти сила F21. Щоб перемістити

 

B1

 

 

другий провідник на відстань d2, треба прикласти силу, рі-

 

 

 

 

2

 

 

 

 

F

 

F

вну по модулю, але протилежну за напрямком F21. Знай-

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

d2

демо значення сили. Перший провідник створює магнітне

 

 

 

 

 

поле індукцією B1 . Напрямок B1 визначимо за правилом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 12.9

правого гвинта (вказано на рис. 12.9 хрестиком , укладени-

 

 

 

 

 

 

ми в коло). Магнітна індукція поля, створюваного нескін-

ченно довгим провідником зі струмом I1 в точці, що знаходиться на відстані r від нього

B

0 I1 ,

(1)

1

2 r

 

 

 

0 – магнітна стала, – магнітна проникність середовища.

Середовище, в якому знаходяться провідники, не вказано, тому вважаємо, що вони знаходяться у вакуумі: μ=1.

З боку цього поля на провідник зі струмом I2 діє сила Ампера

 

F21 I2 B1l sin ,

(2)

де l – довжина провідника, α – кут між напрямком струму I2 і

B1 . =90 ,

sin 90

1.

 

 

Підставимо (1) в (2), отримаємо:

 

 

 

F

0 I1I 2 l

(3)

 

21

2 r

 

 

 

 

159

Електромагнетизм

Сила залежить від відстані між провідниками, тому для знаходження роботи застосуємо метод диференціювання та інтегрування. При переміщенні другого провідника на відстань dr необхідно виконати елементарну роботу

A Fdr F

dr 0 I1I2 l dr .

(4)

21

2 r

 

 

 

Ми врахували, що модуль сили F дорівнює модулю сили F21.

Щоб знайти роботу, яку треба виконати для переміщення провідника від відстані d1 до відстані d2 проінтегруємо (4):

d

0 I1I2 l

dr

 

0 I1I2 l ln r

 

 

 

0 I1I2 l ln d2 .

 

A 2

 

 

dd12

 

(5)

 

d1

2

r

 

2

 

 

 

2

d1

 

Робота, що припадає на одиницю довжини провідника:

A

 

A

0 I1I2

ln d2 .

(6)

 

l

l

2

d1

 

 

 

 

Підставивши чисельні значення величин у формулу (6), отримаємо

Al 8,32 10 5 Дж/м.

Приклад 12.3.8. З дроту довжиною l=20 см зроблені круговий і квадратний контури. Знайти обертаючі моменти сил М1 і М2, що діють на кожен контур, поміщений в однорідне магнітне поле індукцією В=0,1 Тл. По контурам тече струм I=2 А. Площина кожного контуру складає кут =30 з напрямком поля.

 

P

Розв’язання. На контур зі струмом, поміщений в магніт-

 

не поле, діє обертаючий момент

 

 

m

 

 

 

 

n

B

M pm Bsin ,

(1)

 

 

 

 

де pm – магнітний момент контуру, В

індукція магніт-

 

 

ного поля, – кут між векторами pm і B

(рис. 12.10).

 

 

Рисунок 12.10

Магнітний момент контуру зі струмом

 

pm I S ,

(2)

 

 

де I – величина струму, S – площа контуру. Площа кругового контуру

S r2

,

(3)

1

 

 

де r – радіус контуру.

Довжина кола дорівнює довжині дроту l 2 r , тому r 2l . Тоді

160