Навчальний посибник

Молекулярна фізика

8.18. Посудину, що містить газ під тиском 1,4 105 Па, з’єднали з порожньою посудиною об’ємом 6 л. Після цього в обох посудинах встановився тиск 105 Па. Знайти об’єм першої посудини, якщо температура весь час залишалася

8.22. Колба об’ємом 4 дм3 містить деякий газ масою 0,6 г під тиском 200 кПа. Визначити середню квадратичну швидкість молекул газу.

8.23.Знайти середню довжину вільного пробігу молекул водню при тиску р=0,1 Па і температурі Т=100 К.

8.24.У посудині знаходиться вуглекислий газ, густина якого 1,7 кг/м3. Середня довжина вільного пробігу молекул 52 нм. Знайти ефективний діаметр молекул вуглекислого газу.

8.25.Знайти середнє число зіткнень в одиницю часу молекул азоту при

температурі 27 C і тиску 50 кПа.

8.26.Знайти коефіцієнт дифузії водню при нормальних умовах, якщо середня довжина вільного пробігу молекул дорівнює 16 нм.

8.27.Знайти коефіцієнт теплопровідності повітря при тиску 100 кПа і те-

мпературі 10 C. Ефективний діаметр молекул повітря вважати рівним 0,36 нм. 8.28. Знайти коефіцієнт в’язкості кисню при нормальних умовах.

Достатній рівень

8.29. Знайти молярну масу М суміші кисню масою m1=25 г і азоту масою m2=75 г.

8.30.Який об’єм займає суміш, що складається з 0,28 кг азоту и 0,04 кг гелію при температурі t= 13 С і тиску p=9,8 104 Па?

8.31.У балоні знаходиться газ при температурі t1=40 С і тиску p1=1,6 107 Па. Визначити тиск p2 в балоні після того, як 30% маси газу було використано, а температура стала t2=7 С.

8.32.Гранично допустима концентрація молекул парів ртуті в повітрі до-

рівнює 3 1016 м 3. Знайти, при якій масі речовини в одному кубічному метрі повітря з’являється небезпека отруєння.

8.33. Який тиск газу, якщо його густина 1,35 кг/м3, а середня квадратична швидкість молекул 500 м/с?

91

Молекулярна фізика

8.34.Середня квадратична швидкість молекул деякого газу за нормальних

умов дорівнює vкв =450 м/с. Скільки молекул міститься в масі m=1 г цього газу?

8.35.Повітря нагріли на Т=3 К, при цьому його об’єм збільшився на 1% від початкового. Яка була початкова температура, якщо в процесі нагрівання тиск не змінювався?

8.36.Манометр на автомобільній камері при температурі t1= 13 С показує тиск 0,160 МПа (надлишкове над атмосферним). Яким став тиск, якщо в ре-

зультаті тривалого руху автомобіля повітря в камері нагрілося до 37 С?

8.37. Манометр на балоні з газом в приміщенні з температурою t1=17 С показує тиск р=0,24 МПа (надлишкове над атмосферним). На вулиці показання манометра зменшилося на р=0,04 МПа. Знайти температуру повітря на вулиці, якщо атмосферний тиск р0=0,1 МПа.

8.38.На якій висоті тиск повітря зменшується в 5 разів? Температуру повітря t вважати постійною і рівною 17 С.

8.39.На якій висоті густина повітря становить 25% від його густини на

рівні моря? Температуру повітря t вважати постійною і рівною 0 С.

8.40. Вважаючи повітря ідеальним газом, розрахувати на якій висоті над поверхнею Землі концентрація молекул кисню в е разів менше, ніж у поверхні Землі. Температуру вважати постійною і рівною t=15 С. е – основа натуральних логарифмів.

8.41.Знайти густину повітря на висоті 4 км від поверхні Землі. Температуру повітря t вважати постійною і рівною 0 С. Тиск повітря біля поверхні Землі р0=100 кПа.

8.42.Знайти середнє число зіткнень молекули кисню протягом t=1 с при нормальних умовах.

8.43.Площа поперечного перерізу мідного стрижня S=10 см2, довжина

стрижня l=50 см. Різниця температур на кінцях стрижня Т=15 К. Яка кількість тепла проходить в одиницю часу через переріз стрижня? Втратами тепла крізь бічну поверхню знехтувати.

8.44.Яку кількість тепла втрачає за 1 хв кімната розміром 4х5 м2 і завви-

шки 3 м через чотири цегляні стіни? Температура в кімнаті t1=15 С, температура зовнішнього повітря t2= 20 С. Товщина стін 50 см. Теплопровідність цегли 0,84 Вт/(м К). Втратами тепла через підлогу і стелю знехтувати.

8.45.Два однакових сталевих моста повинні бути побудовані один на пів-

ночі, інший на півдні. Якими мають бути при 0 С зазори, що компенсують подовження мосту при зміні температури, якщо на півдні можливі коливання від

10 до +50 С, а на півночі від 50 до +20 С? При 0 С довжина моста l0=100 м. Коефіцієнт лінійного розширення сталі 1 10 5 К 1.

92

Термодинаміка

§9 Термодинаміка 9.1 Основні теоретичні відомості

Характеристиками процесів теплопередачі і виконання роботи є кількість тепла Q і робота А. Теплопередача відбувається в результаті взаємодії атомів або молекул, тобто на мікрорівні. Робота виконується в результаті взаємодії макротіл, тобто на макрорівні.

1. Перший закон термодинаміки: Кількість тепла, що передане системі, йде на приріст внутрішньої енергії системи і на виконання системою роботи над зовнішніми тілами.

де i – число ступенів свободи молекули.

Для одноатомної молекули жорстким зв’язком i=3, для двоатомної i=5. Якщо число атомів в молекулі три і більше трьох, то число ступенів свободи i=6.

3. Робота розширення газу в загальному випадку:

де CP – показник адіабати.

CV

93

Термодинаміка

4. Молярні теплоємності ідеального газу при постійному об’ємі (Сv) і постійному тиску (СP)

Зробивши заміну в рівнянні (9.13), його можна записати наступним чином:

де Q1 – кількість тепла, що одержується робочим тілом від тепловіддавача; Q2 – кількість тепла, що віддається робочим тілом теплоприймачу;

А – робота, що здійснюються робочим тілом. Ккд циклу Карно

T1

де T1 и T2 – термодинамічні температури тепловіддавача і теплоприймача.

94

Термодинаміка

7. Другий закон термодинаміки: ентропія замкнутої системи за будь-яких процесів, що відбуваються в ній не зменшується – вона зростає при необоротних процесах і залишається постійною у випадку оборотних процесів, тобто

Зміна ентропії системи в будь-якому оборотному процесі, що переводить її з рівноважного стану 1 в рівноважний стан 2:

9.2Алгоритми розв’язання задач та методичні поради

9.2.1.Перш за все, треба з’ясувати характер процесу, що протікає в газі, якщо він не вказаний в умові завдання. Для ізобарного процесу виконується умова p const , для ізохорного – V const , для ізотермічного – T const , для

адиабатного – Q 0 .

Для виконання ізотермічного процесу необхідно повільне протікання процесу. Близькими до адіабатного процесу є процеси яки протікають швидко, оскільки кількість тепла, яким обмінюється тіло з зовнішнім середовищем, буде тим менше, чим швидше протікає процес.

9.2.2. Основна задача термодинаміки рівноважних процесів полягає в знаходженні всіх макростанів фізичної системи. Якщо початковий і кінцевий стани системи відомі, то можна знайти зміну її внутрішньої енергії. Для ідеального газу в цьому випадку використовують формулу (9.3).

Якщо процес відомий, то можна знайти роботу, що виконана системою, розрахувати кількість тепла, що отримане або віддане системою, використовуючи формули (9.4) – (9.8), а також перший закон термодинаміки – формули

(9.1), (9.2).

9.2.3. При розрахунку зміни ентропії за формулою (9.18) треба пам’ятати, що Q означає кількість тепла, яке отримане тілом. Якщо тіло віддає тепло, то

Q пишуть зі знаком мінус. Якщо перехід з початкового стану в кінцеве здійс-

нюється декількома процесами, то зведена кількість тепла дорівнює їх алгебраїчній сумі у кожному процесі. Формулу (9.18) можна застосовувати тільки до оборотних процесів.

9.3. Приклади розв’язання задач

Приклад 9.3.1. Ідеальний газ переходить зі стану 1 в стан 2 (рис. 9.1): а) по ділянці 1А2; б) по ділянці 1ВCD2. Вкажіть характер процесу на кожній ділянці. У якому випадку газ виконує більш велику роботу і в скільки разів?

Розв’язання. Розглянемо ділянку 1А2. Віна складається з двох процесів. Перехід 1А відповідає ізохорному процесу, оскільки об’єм постійний, перехід А2 – ізобарний, оскільки тиск постійний. При ізохорному процесі робота дорівнює

95

Термодинаміка

нулю, так що об’єм залишається постійним: A1A 0 . Отже, робота при переході

газу із стану 1 в стан 2 по ділянці 1А2 буде дорівнювати роботі на ділянці А2. Робота при ізобарному процесі чисельно дорівнює площі, обмеженій графіком процесу і ординатами об’єму. З графіка визначаємо: р=1 МПа=106 Па,

V1=10 л =10 10–3 м3, V2=40 л =40 10–3 м3.

Розрахуємо роботу:

A1A2 106 40 10 10 3 30 103 Дж.

Розглянемо ділянку 1ВCD2. Вона складається з чотирьох процесів. Переходи

Розрахуємо роботу на ділянці СD:

ACD 2 106 40 20 10 3 40 103 Дж.

96

Термодинаміка

перехід складається з двох процесів: ділянка АС – ізохорний процес при V1=const, ділянка СВ – ізобарний процес при р2=const. На ділянці АС об’єм не змінюється, тому робота з розширення газу дорівнює нулю. Отже, робота, що здійснюється газом на ділянці АСВ, буде дорівнювати роботі, яка виконується на ділянці СВ. Процес ізобарний, тому

Внутрішня енергія є функцією стану. Це означає, що її зміна не залежить від того, як здійснювався перехід, а буде визначатися тільки значеннями температури в початковому і кінцевому станах. Позначимо температуру кінцевого стану (стану В) через Т2. тоді

де i – число ступенів свободи. Кисень – двоатомний газ, тому i=5. Для станів А і В запишемо рівняння Менделєєва – Клапейрона:

Зробимо заміну в (2) з урахуванням рівнянь (3) і (4), отримаємо:

Кількість тепла, що отримане газом, розраховується за першим законом термодинаміки:

Підставивши чисельні значення величин у формули (1), (2), (6) отримаємо:

A 900 Дж, U 600 Дж, Q 1500 Дж.

б) Розглянемо перехід по ділянці АDВ. Він теж складається з двох процесів: АD

– ізобарний процес при р1=const, DВ – ізохорний процес при V2=const. Робота на ділянці DВ дорівнює нулю, оскільки об’єм не змінюється. Отже

Зміна внутрішньої енергії знайдена в попередньому пункті. Підставивши чисельні значення величин у Формулу (7), отримаємо

A 1230 Дж, U 600 Дж, Q 1800 Дж.

97

Термодинаміка

Приклад 9.3.3. Двоатомний газ займає об’єм V1=0,5 л при тиску p1=50 кПа. Газ стискається адіабатно до деякого об’єму V2 і тиску p2. Потім він охолоджується при V2=const до початкової температури, причому його тиск стає рівним p0=100 кПа. Накреслити графік процесу. Знайти об’єм V2 і тиск p2.

Розв’язання. Накреслимо графік процесу в координатах pV (рис. 9.3). Ділянка 1- 2 – адіабатний процес, ділянка 2-3 – ізохорний процес. Зазначимо на графіку параметри станів 1, 2, 3.

За умовою в станах 3 і 1 температура однакова, це значить, що вони знаходяться на одній ізотермі. Параметри цих станів пов’язані рівнянням Бойля – Маріотта:

де CP i 2 2 R – молярна теплоємність при постійному тиску;

Cv 2i R – молярна теплоємність при постійному об’ємі.

Підставивши чисельні значення величин у формули (2), (5), (6), отримаємо:

Приклад 9.3.4. Ідеальна теплова машина, що працює за циклом Карно, виконує за один цикл роботу А=73,5 кДж. Температура нагрівача t1=100 С, температура

98

Термодинаміка

холодильника t2=0 С. Знайти ккд циклу, кількість тепла Q1, що одержується машиною за один цикл від нагрівача, і кількість тепла Q2, що віддається за один цикл холодильнику.

Розв’язання. Коефіцієнт корисної дії теплової машини

Q1 Q2 , (1)

Q1

де Q1 – кількість тепла, що одержується робочим тілом від тепловіддавача; Q2 – кількість тепла, що віддається робочим тілом теплоприймачу.

Ккд ідеального циклу Карно

T1

Підставивши чисельні значення величин у формулу (6), отримаємо

Q2 198,5 кДж.

Приклад 9.3.5. Теплова машина, робочим тілом якої є ідеальний одноатомний газ, здійснює цикл, зображений на рис. 9.4. Знайти ккд теплової машини.

Розв’язання. Коефіцієнт корисної дії теплової машини визначається співвідношенням:

де А – робота, що виконується за цикл,

99

Термодинаміка

Q1 – кількість тепла, що одержується робочим тілом від тепловіддавача за

цикл.

оскільки процес 2-3 є ізобарний (p=const).

Зміна внутрішньої енергії U на ділянці 1-2-3 буде визначатися початковими і кінцевими значеннями температур, тобто значеннями температур Т1 і Т3 в точках 1 і 3.

де i – число ступенів свободи. i=3, оскільки газ одноатомний.

Виразимо U через параметри р0 і V0. Для цього запишемо рівняння Менделєєва – Клапейрона для станів 1 і 3:

Віднімемо з рівняння (8) рівняння (7), отримаємо:

Порівнявши (6) і (9), запишемо:

100