Основи моделювання взаємозв’язків

Основні засади аналізу кореляційних зв'язків

У процесі дослідження розв'язується триєдина задача:

• встановлюється факт наявності зв'язку між явищами, його напрямок і форми;

• вимірюється ступінь щільності зв'язку;

• оцінюються ефекти впливу одних явищ на інші.

Для соціально-економічних явищ характерні переважно кореляційні зв'язки, які через складність взаємодії факторів і вплив випадкових причин проявляються не в кожному окремому випадку, а лише в середньому. За напрямом впливу кореляційні зв'язки бувають прямими і зворотними, за аналітичною формою - лінійними і нелінійними, за кількістю взаємодіючих факторів - парними і множинними.

Найпростішою системою кореляційного зв'язку є парна кореляція, коли одне явище розглядається як фактор, інше - як результат. Відповідно ознаки, що характеризують ці явища, називаються: факторною х і результативною у. Наявність зв'язку між ними має бути попередньо обґрунтована і представлена у вигляді гіпотези.

Виявити узгодженість (неузгодженість) варіації двох ознак можна за допомо­гою паралельних рядів, коли одиниці сукупності упорядковуються за значеннями факторної ознаки х, а паралельно розміщуються відповідні їм значення результативної ознаки у. Наявність чи відсутність зв'язку виявляється зіставленням паралельних рядів.

Форму кореляційного зв'язку між ознаками можна описати аналітично у вигляді функції У = f(х), яка називається регресією у по х. У лінійному щодо параметрів рівнянні регресії індивідуальне значення результативного показника у_j (де j — порядковий номер одиниці сукупності) записується так:

,

де b₀ — вільний член рівняння; економічного змісту, як правило, не має, лише окреслює область існування моделі;

b_і — коефіцієнт регресії; показує, як в середньому змінюється у зі зміною х_і на одиницю її шкали вимірювання за незмінності інших включених в модель факторів і за інших рівних умов;

e_{j =} y_j – Y_j — залишкова величина.

У регресійній моделі основне навантаження покладається на коефіцієнт регресії b_і, він розглядається як своєрідна міра «очищеного» впливу х_і на у і називається ефектом впливу.

Коефіцієнт регресії розглядається як ефект впливу х на у. У парній лінійній регресії сума квадратів відхилень мінімізується при таких значеннях параметрів а та b:

, или ;

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів (МНК), основна умова якого - мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень у_j від теоретичних

.

де j - порядковий номер одиниці сукупності.

Відхилення пояснюються впливом інших, не включених у модель факторів, називаютьсязалишками і позначаються e_j.

У невеликих за обсягом сукупностях коефіцієнт регресії схильний до випадкових коливань, тому слід перевірити його істотність. При лінійному зв'язку істотність коефіцієнта регресії перевіряють за допомогою t-критерію Стьюдента, статистична характеристика якого для гіпотези Н₀:b = 0 визначається відношенням коефіцієнта регресії b до власної стандартної похибки μ_b, тобто

,

Стандартна похибка коефіцієнта регресії залежить від варіації факторної ознаки х, залишкової дисперсії S_e² і числа ступенів свободи df =n-m, де т- кількість параметрів рівняння регресії (для лінійної регресії т =2):

Для коефіцієнта регресії, як і для будь-якої іншої випадкової величини, визначаються довірчі межі. ,

Мірою щільності парного лінійного зв'язку слугує коефіцієнт кореляції r

Значення коефіцієнта кореляції змінюються в діапазоні від -1 до +1, тобто оцінюючи щільність зв'язку, коефіцієнт кореляції вказує і на його напрям: при прямому зв'язку r - величина додатна, при зворотному - від'ємна.

Оскільки факторні ознаки мають, як правило, різні одиниці вимірювання, то для порівняння ефектів їх впливу в рамках моделі використовують стандартизовані коефіцієнти регресії (бета-коефіцієнти) або коефіцієнти еластичності .Бета-коефіцієнт характеризує ефект впливу х_і на у в середньоквадратичних відхиленнях, коефіцієнт еластичності — в процентах.

Для оцінювання адекватності регресійної моделі використовують:

• стандартне відхилення;

• множинні коефіцієнти детермінації та кореляції;

• частинні коефіцієнти детермінації та кореляції;

• коефіцієнти окремої детермінації;

• критерії перевірки істотності зв’язку.

Стандартне відхилення характеризує варіацію залишкових величин

,

де n — обсяг сукупності, m — кількість коефіцієнтів регресії.

Розрахунок характеристик щільності зв’язку ґрунтується на декомпозиції (розкладанні) варіації у за джерелами формування:

,

де —загальна сума квадратів відхилень, зумовлена впливом усіх можливих факторів;

—факторна сума квадратів відхилень, зумовлена впливом включених у модель факторних ознак х_і;

— залишкова сума квадратів відхилень, розмір якої залежить від потужності впливу не включених у модель факторів.

Відношення факторної суми квадратів до загальної характеризує частку варіації у, пов’язану з варіацією включених у модель факторів, і називається множинним коефіцієнтом детермінації

.

Коефіцієнт детермінації характеризує частку варіації результативної ознаки у, яка пов'язана з варіацією фактору х. За відсутності зв'язку R²=0. Якщо зв'язок функціональний, R²=1.

Корінь квадратний із коефіцієнта детермінації називають коефіцієнтом кореляції. Якщо зв'язок лінійний, то R =|r|. Перевірка істотності кореляційного зв'язку ґрунтується на порівнянні фактичних значень R² з критичними, які могли б виникнути за відсутності зв'язку. Якщо фактичне значення R² перевищує критичне, то зв'язок між ознаками не випадковий. Гіпотеза, що перевіряється, формулюється як нульова: Н₀ : R² = 0 .

Критичні значення характеристик щільності зв'язку для рівня істотності а = 0,05 і відповідного числа ступенів свободи наведено в табл. 4.4.2. Число ступенів свободи df залежить від об­сягу сукупності n і кількості параметрів рівняння т. Для факторної дисперсії df дорівнює (т - 1), для залишкової - (п - т).

Розглянута процедура перевірки істотності зв'язку є складовою дисперсійного аналізу (див. 4.3). або .

Критичні значення , де α — рівень істотності, k1 = m – 1, k2 = n – (m – 1) — числа ступенів вільності чисельника та знаменника, наведено в додатку 10. Оскільки F-критерій функціонально зв’язаний з коефіцієнтом детермінації R2, то перевірку істотності зв’язку можна здійснити, використовуючи безпосередньо критичні значення.Критичні значення коефіцієнта детермінації R²для α =0,05

	1	2	3	4	5
8	399	527	604	657	697
9	362	488	563	618	659
10	332	451	527	582	624
12	283	394	466	521	564
14	247	348	417	471	514
16	219	312	378	429	477
18	197	283	345	394	435
20	179	259	318	364	404
24	151	221	273	316	353
28	130	193	240	279	314
32	115	171	214	250	282
36	102	153	192	226	256
40	093	139	176	207	234
50	075	113	143	170	194
60	063	095	121	144	165
80	047	072	093	ПО	127
100	038	058	075	090	103
120	032	049	063	075	087
200	019	030	038	046	053

Стандартна таблиця регресійного аналізу містить усі характеристики кореляційних зв'язків, описані вище, зокрема:

• значення коефіцієнтів кореляції R, детермінації R² та R_k² (скоригований на число ступенів свободи), стандартну похибку s_е;

• результати дисперсійного аналізу;

• коефіцієнти регресії, стандартні похибки і t-тести коефіієнтів регресії.

Окрім названих множинних коефіцієнтів щільності зв’язку, в комп’ютерних програмах передбачено розрахунок R² з урахуванням числа ступенів вільності:

,

де — оцінка дисперсії результативної ознакиу;

—оцінка залишкової дисперсії.

Скоригований коефіцієнт множинної детермінації відрізняється відR² співвідношенням числа ступенів вільності дисперсій: залишкової (n – m + 1) і загальної (n – 1).

Лінійна функція описує такий зв'язок, коли зі зміною фак­тора х результат у змінюється більш-менш рівномірно. При не­рівномірному співвідношенні варіацій взаємозв'язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), використовують нелінійні регресії, зокрема: степеневу, гіперболу, параболу тощо. Скажімо, зв'язок між собівартістю у та обсягом продукції х описується рівнянням гіперболи , деа - пропорційні витрати на одиницю продукції, b - постійні витрати на весь випуск, а зв'язок між ціною і попитом на певний товар - степеневою функцією , де параметр γ(коефіцієнт еластичності) характе­ризує відносний ефект впливу фактору х на результат у. Якщо скажімо γ= -08, то це означає, що зі зміною фактору х на 1% результату зменшується у середньому на 0,8%. Степенева функ­ція зводиться до лінійного виду логарифмуванням .