Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
kursovaya_rabota.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
810.5 Кб
Скачать

1 Постановка задачи

1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную графически, аппроксимировать:

а) степенной зависимостью ;

б) полиномиальным многочленом 3-й степени .

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициенты регрессии.

3. Вычислить коэффициенты корреляции.

4. Вычислить среднеквадратичные отклонения и суммарную ошибку.

5. Для каждой зависимости построить линию тренда.

6. Используя статистические функции, вычислить числовые характеристики зависимости y от x.

7. Найти ожидаемое значение токов при напряжениях 0,87U, 0,96U, 1,22U. Номинальный ток статора 60А.

8. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

9. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

10. Выполнить необходимые расчеты в электронных таблицах Excel.

2 Описание математической модели решения задачи

2.1 Анализ экспериментальной зависимости

Асинхронной называется такая машина, скорость вращения которой при заданной частоте зависит от нагрузки. В асинхронной машине магнитное поле создается переменным током, подводимым к ней от какого-либо источника переменного тока. Асинхронные машины применяются преимущественно при работе в режиме двигателей.

Коэффициент нагрузки определяет относительную величину нагрузки асинхронного двигателя (АД):

. (2.1)

Если АД работает большей частью при нагрузках, близких к номинальной, то выгодно, чтобы значение Кнг было близко к единице. Если АД работает в основном при малых нагрузках, то выгодно, чтобы значение Кнг было соответственно меньше.

Зависимости тока статора АД АИУМ225М4 от напряжения при различных коэффициентах нагрузки приведены на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Зависимости тока статора АД АИУМ225М4 от напряжения при различных коэффициентах нагрузки

Анализ данной зависимости показывает, что при уменьшении напряжения намагничивающий ток уменьшается, а ток статора, равный геометрической сумме приведенного тока ротора и тока холостого хода, в зависимости от загрузки асинхронного двигателя и соотношения между данными параметрами, может увеличиваться или уменьшаться. Ток ротора увеличивается всегда.

2.2 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

Таблица 2.1 - Функциональная зависимость между x и y

x

y

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, аполучается в результате опыта. Поэтому эти значениябудем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача – подобрать зависимости вида:

(2.2)

(где - параметры), значения которой привозможно мало отличались бы от опытных значений.

Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (2.2) подставить исходные , то получим теоретические значения , где . Разностиназываются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точекдо графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

(2.2)

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадралтов.

Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точкуна плоскости. Используя формулу (2.2.1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (2.2.1). Задача состоит в определении коэффициентовтаким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точекдо графика функции (2.2.1) была наименьшей.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функцииS, определяемой формулой (2.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

(2.2)

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (2.2.3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.2) линейна относительно параметров , тогда система (2.2.3) - будет линейной.

Конкретный вид системы (2.2.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2.2.1). В случае линейной зависимости система (2.2.3) примет вид:

(2.2)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости система (2.2.3) примет вид:

(2.2)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]