§ 2. Конус (рассматриваем только прямой круговой конус).

. Конус. Основные понятия.

Определение. Конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, относительно которого происходит вращение – ось конуса, численно равная его высоте; второй катет – радиус основания; гипотенуза – образующая (образует при вращении боковую поверхность конуса).

М – вершина конуса, О – центр основания, МО – ось конуса, МО = Н – высота конуса, ОА = ОВ =…= R – радиус основания, АМ = BM =…= l – образующая конуса. Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник (например, треугольник AMB). Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию – круг, подобный основанию.

M B O A

l R l

Развёртка поверхности конуса состоит из круга и сектора круга.

. Усечённый конус.

Определение. Усечённым конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольной трапеции вокруг её меньшей боковой стороны. Другими словами: усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием и параллельным основанию сечением конуса. Осевое сечение – равнобедренная трапеция (например, АВВ1А1).

B1 r A1 l H B R A

. Объём и площадь поверхности конуса.

Конус
полный	усечённый

Здесь R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, H – высота, l – образующая.

!	В конус всегда можно вписать шар. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.
!	Около конуса всегда можно описать шар. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Вопросы и задачи

776. Из бумаги свёрнут кулёк, имеющий форму конуса с радиусом основания 5 см и высотой 10 см. Определите площадь поверхности кулька.

777. Образующая конуса равна 2 см, а радиус основания – 1 см. Объясните, больше или меньше 6 см² площадь его полной поверхности.

778. Найдите площадь полной поверхности конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а образующая – 4;

б) радиус основания равен 3, а высота - 4;

в) радиус основания равен 4, а угол наклона образующей к основанию равен 30⁰.

776. Найдите объём конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а его высота равна 3;

б) радиус его основания равен 3, а образующая равна 5;

в) радиус основания равен 2, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°;

г) радиус основания равен 3, а площадь осевого сечения равна 12.

776. Прямоугольный треугольник с катетами a и b (a < b) вращается сначала вокруг одного из них, а затем вокруг другого. Сравните:

а) площади боковых поверхностей полученных конусов;

б) площади полных поверхностей получившихся конусов.

776. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины 2 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

777. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

778. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

779. Прямоугольный треугольник с катетами a и b вращают вокруг гипотенузы. Найдите объём полученного тела вращения.

780. Параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см и углом 60⁰ вращают вокруг прямой, содержащей большую сторону параллелограмма. Найдите площадь получившейся поверхности.

781. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

782. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

783. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна P.

784. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объём конуса, если его высота равна H.

785. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

786. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.

787. Рассматривается конус с радиусом основания 5 см и образующей 3см. Через точку образующей, находящуюся на расстоянии 1 см от вершины, проведено сечение, параллельное основанию конуса. Выполните последовательно такие задания:

а) найдите площадь этого сечения;

б) найдите площадь боковой поверхности данного конуса;

в) найдите площадь боковой поверхности конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

г) найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

д) найдите площадь полной поверхности этого усечённого конуса.

776. Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

777. Площадь основания конуса равна 12 см², его высота – 6 см. Найдите площадь его сечения, параллельного основанию и проведённого:

а) через середину высоту;

б) на расстоянии 2 см от вершины конуса;

в) на расстоянии 4 см от вершины конуса.

Найдите объёмы конусов, у которых основаниями являются рассмотренные сечения, а вершиной – вершина данного конуса.

776. Площадь основания конуса равна 25 см², а высота равна 5 см. На расстоянии 1 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите объём усечённого конуса, отсекаемого проведённым сечением.

777. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

778. В усечённом конусе известны высота h, образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.