Глава 8. Многогранники.

Определение. Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Тело, ограниченное многогранником, также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются его рёбрами, а концы рёбер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани (известные нам тетраэдр, пирамиды, параллелепипед и т.п. – выпуклые многогранники).

Подробно рассмотрим два вида выпуклых многогранников: призмы и пирамиды.

§ 1. Призма.

. Призма. Правильная призма.

Определение. Призмой называется многогранник, две грани которого равные многоугольники (основания призмы) с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани (боковые) – параллелограммы.

Определение. Высотой призмы называется перпендикуляр, проведённый из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания.

Определение. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не лежащие в одной грани.

Определение. Прямой призмой называется призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

B1 A1 C1 B A C	A1 C1 B1 B C A
прямая треугольная призма	наклонная треугольная призма

Для прямой призмы справедливы следующие утверждения:

– все боковые грани – прямоугольники;

– все двугранные углы при рёбрах основания прямые;

– высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Определение. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Частным случаем четырёхугольной призмы является параллелепипед.

. Параллелепипед. Куб.

Определение. Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.

Для параллелепипеда справедливы следующие утверждения:

– все грани параллелепипеда – параллелограммы;

– противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

– диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны основаниям, то есть его боковые грани – прямоугольники.

Определение. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основания – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны; справедливо равенство: d2 = a2 + b2 + c2, где d – диагональ, a, b, c – три измерения прямоугольного параллелепипеда.

d a c b

Определение. Кубом (гексаэдром) называется прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами. Его гранями являются равные квадраты.

. Объём и площадь поверхности призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба.

Призма	Прямоугольный параллелепипед с измерениями a,b,c	куб с ребром a
V = Sосн·H Sпов = 2 Sосн + Sбок	V = abc Sпов =2(ab + ac + dc)	V = a3 Sпов = 6a2

Здесь и далее: V – объём, S_пов – площадь полной поверхности, S_осн – площадь основания, S_бок – площадь боковой поверхности.

Вопросы и задачи

641. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если

а) ABCD – квадрат со стороной 2, а AA₁ = 3;

б) AB = 6, AC = 10, AB₁ = 10;

в) ABCD – квадрат со стороной 4, а диагональ AC₁ = 6;

г) ABCD – квадрат со стороной 4, а диагональ AC₁ наклонена к основанию под углом 45⁰;

д) AB = 2, BC = 4, а плоскость AB₁C₁ наклонена к плоскости ABC под углом 60⁰.

641. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его измерения 2 см, 3 см и 4 см;

б) площадь его основания 3 см², а высота 5 см;

в) диагональ его основания равна 5 м, одна из сторон основания равна 4 м, а высота равна 2 м;

г) высота равна 3 см, диагональ его основания равна 2 см, а угол, образованные ею с одной из сторон основания, равен 30°.

641. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 80 см³. Найдите:

а) его высоту, если площадь основания равна 40 см²;

б) площадь его основания, если его высота равна 8 см.

641. Два измерения прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 2 см. Установите:

а) может ли такой параллелепипед иметь объём, больший 100 см³;

б) может ли такой параллелепипед иметь объём, меньший 20 см³;

в) можно ли такой параллелепипед, имеющий объём, больший 40 см³, поместить внутрь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 11 см, 3 см и 1 см.

г) Параллелепипед рассматриваемого вида, объём которого больше 40 см³, но меньше 60 см³, хотят поместить внутрь куба так, чтобы его грани были параллельны граням куба; какую длину ребра должен иметь куб, чтобы это удалось сделать?

641. Резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда и сделан из бетона. Его внутренние размеры – 10 м, 12 м и 4 м. Толщина бетонных стенок и дна 0,5 м. Найдите объём резервуара и объём бетона, израсходованного на постройку.

642. Взят лист бумаги размером 20х16 см. Из него двумя способами сложили боковые поверхности прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Определите, какой из этих параллелепипедов будет иметь больший объём.

643. Ширина комнаты 4 м, длина 5м, а высота потолка 3м. Общая площадь окон и двери 8 м². Найдите площадь обоев, которыми оклеены стены.

644. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 1 м, 3 м и 5 м помещён внутрь куба с ребром 6 м. Сделайте рисунок для такого случая и найдите объём свободного места внутри куба.

645. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

646. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани и β с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна h.

647. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

648. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если: а) АC₁ = 1 м, угол C₁АC равен 45°, угол C₁АВ равен 60°; б) АC₁ = 24 см, угол C₁АA₁ равен 45°, диагональ АC₁ составляет угол 30° с плоскостью боковой грани.

649. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его диагональ равна 1 см, угол, образованные ею с плоскостью основания, равен 45°, а угол, образованный диагональю основания с одной из его сторон, равен 30°;

б) плоскость, проходящая через параллельные и не лежащие в одной боковой грани рёбра верхнего и нижнего оснований, наклонена к основанию под углом 60°, а стороны основания равны 3 см и 4 см.

641. Найдите объём куба, если его диагональ равна d.

642. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 16 и 18. Найдите ребро равновеликого ему куба.

643. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 2 и острым углом 30°. Высота параллелепипеда равна 3. Найдите объём параллелепипеда.

644. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 4 и 6. Высота параллелепипеда равна 4. Найдите его объём.

645. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Найдите его объём, если:

а) высота параллелепипеда 3 см, стороны основания 4 см и 5 см, а один из углов основания 135°;

б) высота параллелепипеда 5 см, диагонали основания 6 см и 10 см, а угол между диагоналями 30°.

641. Найдите объём прямого параллелепипеда, основание которого параллелограмм, если стороны параллелограмма равны 8 см и 15 см и образуют угол 60°, а меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 30°.

642. Рассматривается правильная четырёхугольная призма. Найдите её объём, если:

а) её высота равна 2, а диагональ основания 3;

б) диагональ основания равна 3, а диагональ призмы

641. Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная четырёхугольная призма, высота которой равна 2. Объясните:

а) может ли площадь её полной поверхности быть равной 10?

б) какие значения может принимать площадь её полной поверхности, если длина стороны основания принимает все значения из отрезка [ 1; 3].

641. Найдите объём правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно a, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

642. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол 60° с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна a.

643. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол 30°. Найдите объём призмы.

644. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

645. В основании прямой призмы лежит треугольник. Найдите её объём, если:

а) её высота равна 3, а стороны основания 3, 4 и 5;

б) её высота равна 2, а все стороны основания равны 3;

в) её высота равна 1, а стороны основания равны 13, 13 и 10;

г) её высота равна 5, две стороны основания равны 3 и 4, а угол между ними равен 45°.

641. В основании прямой призмы с высотой, равной 5, лежит трапеция. Найдите объём призмы, если:

а) трапеция прямоугольная с основаниями 4 и 2 и высотой 3;

б) трапеция равнобедренная с боковыми сторонами длины 10 и основаниями 18 и 6.

641. Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если АВ=ВС=m, угол ABC равен φ и ВВ₁ = BD, где BD – высота треугольника АВС.

642. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную a, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объём данной призмы.

643. Найдите объём треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, высота которой 3, если:

а) АВС – прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4;

б) АВС – равносторонний треугольник со стороной 1.

641. Найдите объём треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, если:

а) площадь основания АВС равна 5 см², а боковое ребро АА₁ равно 2 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°;

б) АВС – равносторонний треугольник со стороной 3 см, а боковое ребро ВВ₁ равно 3 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°.

в) АВС – треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а высота А₁М грани АА₁В₁В наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 2.

г) АВС – треугольник со сторонами 6, 8 и 10, высота боковой грани АА₁В₁В равна 4, а угол между основанием и этой гранью равен 45°.

641. Рассматривается единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. В куб хотят поместить призму, объём которой равен 0,5, так, чтобы её основанием был треугольник АВС. Объясните, удастся ли это сделать.

642. Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если:

а) его основанием служит квадрат со стороной 1, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30° и равно 2;

б) его основание – параллелограмм со сторонами 2 и 3 и острым углом 45°, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60° и равно 2;

в) его основание ABCD – прямоугольник со сторонами АВ = 6 см и AD = 8 см, вершина A₁ проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника, а грань АА₁В₁В наклонена под углом 30° к основанию.

641. Грани ABCD и АА₁В₁В параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ – квадраты. Ребро АA₁ наклонено под углом 45° к плоскости АВС, АВ = 2.

а) Найдите объём данного параллелепипеда.

б) Найдите высоту параллелепипеда, опущенную из точки С на грань АА₁В₁В.

641. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами a и b. Боковое ребро равно и составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите объём параллелепипеда.

642. Все грани параллелепипеда – равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объём параллелепипеда.