Глава 9. Фигуры (тела) вращения.

§ 1. Цилиндр (рассматриваем только прямой круговой цилиндр).

. Цилиндр. Основные понятия.

Определение. Цилиндром называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сторона, относительно которой происходит вращение – ось цилиндра, противоположная ей сторона называется образующей (образует при вращении боковую поверхность цилиндра), две другие – радиусы нижнего и верхнего оснований цилиндра.

ОО1 – ось цилиндра, АА1 = ВВ1 =…= l – образующие цилиндра, ОА = ОВ =…= ОА1 = ОВ1 = R – радиусы нижнего и верхнего оснований. В прямом круговом цилиндре ось, образующие и высота численно равны. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник (например, АВВ1А1). Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, является кругом, равным основаниям.	B1 O1 A1 B O A
R R 2πR H=l	Развёртка поверхности цилиндра состоит из двух кругов (верхнее и нижнее основание) и прямоугольника (боковая поверхность).

. Объём и площадь поверхности цилиндра.

Цилиндр

Sосн = π R2 Sбок = 2πRH Sпов = 2π R2 +2πRH = 2πR(R+H) V = π R2H

З

!

десь R – радиус основания, H – высота.

!	Около цилиндра всегда можно описать шар. Центр шара лежит на середине высоты.
	В цилиндр можно вписать шар, если диаметр основания цилиндра равен его высоте.

Вопросы и задачи

776. Высота и радиус основания цилиндра уменьшены в 2 раза. Укажите, как изменился его объём. Как изменится объём цилиндра, если все его линейные размеры увеличить в 3 раза?

777. Объём цилиндра хотят удвоить, не меняя основания цилиндра. Укажите, как следует изменить высоту.

778. Объём цилиндра хотят удвоить, не меняя его высоту. Укажите, как следует изменить радиус его основания.

779. Радиус основания цилиндра 2 см, а его высота 3 см. Выясните, больше его объём 37 см³ или меньше.

780. Радиус основания цилиндра 1 см, а его высота 2 см. Укажите длину ребра равновеликого ему (имеющего с ним равный объём) куба

781. Хозяйка планирует перелить суп из полной кастрюли с радиусом основания 10 см и высотой 15 см в кастрюлю с радиусом основания 9 см и высотой 18 см. Получится ли у неё это?

782. Найдите площадь полной поверхности цилиндра:

а) радиус основания которого равен 3, а высота – 2;

б) радиус основания которого равен 2, а площадь осевого сечения – 4;

в) радиус основания которого равен 2, а диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 45⁰.

776. Высота цилиндра 2 см, а радиус его основания 1 см. Объясните больше или меньше 18 см² полная поверхность цилиндра.

777. Длина отрезка, соединяющего центр верхнего основания цилиндра с точкой нижней окружности, 10 см, а длина отрезка, соединяющего центры оснований, 8 см. Найдите объём цилиндра.

778. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой нижней окружности, наклонён к основанию цилиндра под углом 30°. Радиус основания 2 см. Найдите объём цилиндра.

779. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 4 см². Найдите объём цилиндра.

780. Бетонные кольца для колодцев имеют высоту 1 м, внешний диаметр 1 м и толщину стенок 0,1 м. Найдите объём бетона, необходимый для изготовления такого кольца.

781. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

782. Сколько квадратных метров жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности?

783. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, площадь полной поверхности равна 288π см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

784. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

785. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

786. Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объём цилиндра.

787. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь:

а) осевого сечения цилиндра;

б) боковой поверхности цилиндра;

в) полной поверхности цилиндра.

776. Сторона основания правильной треугольной призмы равна радиусу основания цилиндра, а её высота в 3 раза больше высоты цилиндра. Сравните объёмы цилиндра и призмы.

777. Куб с ребром 1 вписан в цилиндр. Сравните площади полной поверхности куба и цилиндра.

778. Найдите отношение объёмов цилиндра и куба, если:

а) цилиндр описан около куба;

б) цилиндр вписан в куб.

776. Определите, какой высоты должен быть цилиндр, чтобы площадь его боковой поверхности была втрое больше площади его основания.

777. Прямоугольник со сторонами a и b (a < b) вращается сначала вокруг одной из сторон, а затем вокруг другой. Сравните:

а) площади боковых поверхностей цилиндров;

б) площади их полной поверхности.

776. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π. Укажите:

а) есть ли среди таких цилиндров цилиндр с наибольшим объёмом;

б) есть ли среди таких цилиндров цилиндр с наименьшим объёмом;

в) каким будет радиус такого цилиндра, если ещё известно, что его объём равен π.

776. Высота цилиндра равна 1. Объясните:

а) может ли площадь его полной поверхности быть равна 4π;

б) какие значения может она принимать, если R  [1; 2].

776. Объём цилиндра равен 27π. Определите, какую наименьшую площадь боковой поверхности может иметь такой цилиндр.

777. Площадь боковой поверхности цилиндра составляет половину площади его полной поверхности, диагональ осевого сечения – 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

778. В цилиндр вписана правильная n - гольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n – произвольное целое число.

779. В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему углом α. Найдите объём цилиндра, если высота призмы равна h.