Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
для студентов гл.7-10.doc
Скачиваний:
178
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
48.39 Mб
Скачать

Глава 10. Векторы и координаты.

§ 1. Векторы.

. Векторы. Основные понятия. Правила действия с векторами.

Основные понятия, связанные с векторами, в стереометрии те же, что и в планиметрии.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, т.е. вектор однозначно определяется направлением и длиной.

Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор.

Определение. Длиной вектора называется расстояние от начала вектора до его конца

Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

Теорема. Если векторы и коллинеарны и вектор – ненулевой, то существует число k такое, что .

Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Определение. Векторы называются взаимно перпендикулярными (ортогональными), если угол между ними равен 90°.

К известным правилам сложения векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника (или ломаной)) в пространстве добавляется правило параллелепипеда: .

D

Ad

Bd

Od

Cd

Правила сложения векторов:

;

;

.

Вычитание векторов .

Правила умножения вектора на число:

β · (λ · ) = (β · λ) ·;

1 · = ;

-1 · = ;

(β + λ = β · + λ · ;

λ · () = λ · + λ · .

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

; числа x, y называют коэффициентами разложения.

. Компланарные векторы.

Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости. Другими словами, векторы компланарны, если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости.

Очевидно, что любые два вектора компланарны; три вектора, два из которых коллинеарны, также компланарны.

Векторы , и компланарны.

Векторы , и не компланарны.

A1

C1

B1

B

C

A

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

.

. Скалярное произведение векторов. Основные формулы.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

, где φ – угол между векторами и .

Законы скалярного произведения:

;

;

;

и перпендикулярны.

Из определения скалярного произведения получаем формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

.

Если , то угол φ – острый;

Если , то угол φ – тупой;

Если , то угол φ – прямой.

§ 2. Координаты в пространстве.

. Прямоугольная система координат в пространстве.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Оси координат:

Ox – ось абсцисс;

Oy – ось ординат;

Oz – ось аппликат.

Координатные плоскости: Oxy, Oxz, Oyz.

Вся система координат обозначается Oxyz.

z

x

x

y

O

Каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.

Координатные (базисные) векторы:

единичный вектор оси абсцисс;

единичный вектор оси ординат;

единичный вектор оси аппликат.

Очевидно, что координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам: , причём коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом и называются координатами вектора.

Применяют запись: .

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

. Правила действий с векторами в координатах. Основные формулы.

– Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

– Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

– Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Длина вектора :

.

Скалярное произведение векторов и :

.

Косинус угла между векторами и :

.

Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов и :

.

Условие коллинеарности векторов и :

.

Расстояние между точками М1 и М2 :

|M1M2| = .

Пусть С (x; y; z) - середина отрезка M1M2. Тогда координаты точки С:

; ; .

Вопросы и задачи

  1. Точки М и К – середины рёбер В1С1 и А1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 соответственно. Укажите все пары:

а) сонаправленных векторов;

б) противоположно направленных векторов;

в) равных векторов.

  1. На плоскости даны векторы и . Построить векторы: 3, + , .

  2. ABCD – параллелограмм, , . Выразить через и векторы , , , .

  3. Упростите выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

  4. Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) , , ; б), , ; в) , , .

  5. Упростите выражение: а) ;б);в).

  6. Упростите: а) ; б).

  7. Докажите, что в параллелепипедеABCDA1B1C1D1 + = 2.

  8. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) ; б) , , ; в) ; г), ?

  9. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор по векторам . б) Разложите вектор по векторам , и .

  10. Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то .

  11. Даны точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D(- 4; 0; 3), E (0; -1; 0), F(1; 2; 3), G (0; 5; -7), H (-; ; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Оyz; е) плоскости Оxz?

  12. Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В (3; -5; ) и С () на: а) координатные плоскости Оxz, Oxy и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Оz.

  13. Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

  14. В кубе ABCDA1B1C1D1 D (0; 0; 0), C (2; 0; 0), A1 (0; 2; 2). Найдите координаты остальных вершин куба.

  15. Даны точки А (1; 4; -3), В (-1; 0; -2). Найдите координаты вектора и его длину.

  16. Даны три точки А (1; 0; 2), В (-1; -1; 0), С (1; 2; 0). Найти векторы , ,, .

  17. Даны три точки А (2; 1; 0), В (-1; 3; 1), С (-1; 3; -4). Найти векторы ,, .

  18. Даны векторы (5; 1; -1) и (9; 0; -4). Найти вектор и его длину.

  19. Даны векторы (5; 0; 1) и (-7; 4; -2). Найти вектор и его длину.

  20. Запишите координаты векторов: , , , , , .

  21. Даны векторы , , , . Запишите разложения этих векторов по координатным векторам , , .

  22. Даны векторы и . Найти векторы ; ; ; .

  23. Даны векторы и . Найти векторы ; ; ; .

  24. Даны векторы , , и . Найдите координаты векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

  25. Даны векторы (5; -1; 1), (-2; 1; 0), (0; 0,2; 0) и (). Найдите координаты векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) 2; и) -3; к) -6; л) ; м) 0,2.

  26. Даны векторы , и . Найдите координаты векторов и .

  27. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: , , , , , ).

  28. Коллинеарны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ?

  29. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) и ; б) и .

  30. Даны два вектора и . Найти x и z, если || .

  31. Даны два вектора и . Найти k и m, если || .

  32. Определить, при каких значениях х векторы (х³ - 1)· и 2х являются сонаправленными, если .

  33. Определить, при каких значениях m векторы (m² - m - 2)· и m³· противоположно направлены, если .

  34. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (3; -1; 4), В (0; -2; 5) и С (1; 2; 2). Найти четвёртую вершину параллелограмма.

  35. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (2; 3; 4), В (1; -3; 7) и С (4; 3; 7). Найти четвёртую вершину параллелограмма.

  36. Даны точки А (3; -1; 2), В (1; 2; -1), С (-1; 1; -3) и D (3; -5; 3). Доказать, что ABCD – трапеция.

  37. Найти такое число m, при котором векторы , и являются компланарными.

  38. Установить, являются ли компланарными следующие векторы:

а) (2; 3; -1); (1; -1; 3); (1; 9; -11);

б) (3; -2; 1); (2; 1; 2); (3; -1; -2);

в) (2; -1; 2); (1; 2; -3); (3; -4; 7).

  1. Компланарны ли векторы: а) , и ; б) , и ; в) , и ; г) , и ; д) , и (-1; 2; 4); е) , и ?

  2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ; з) и .

  3. Даны векторы (1; -1; 2), (-1; 1; 1) и (5; 6; 2). Вычислите , , , , .

  4. Даны векторы (3; -1; 1), (-5; 1; 0) и (-1; -2; 1).Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой между векторами: а) и ; б) и ; в) и .

  5. Даны векторы и . При каком значении mвекторы и перпендикулярны?

  6. Даны точки А (0; 1; 2), В (; 1; 2), С (; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD – квадрат.

  7. Вычислите углы между вектором и координатными векторами.

  8. Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и .

  9. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).

  10. Найти , если || = 3; || = 4 и угол между и равен .

  11. Найти , если || = 1; || = 2 и угол между и равен .

  12. Найти , если || = 2; || = 3 и вектор .

  13. Найти , если || = 3; || = 4; угол между и равен .

  14. Найти угол между векторами и .

  15. Дан треугольник с вершинами в точках А (3; -2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Найти угол, образованный медианой BD и стороной АС.

  16. Даны вектора и . Найти угол, образованный векторами и .

  17. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если векторы и составляют угол 30° и .

  18. Найти площадь треугольника с вершинами А (2; 3; 1), В (4; 4; 0) и С (3; 1; -1).

  19. Точки А (4; -3; 7), В (5; 3; 8) и D (10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину диагонали АС.

П

РИЛОЖЕНИЕ

Греческий алфавит.

Α

α

альфа

Ι

ι

йота

Ρ

ρ

ро

Β

β

бета

Κ

κ

каппа

Σ

σ

сигма

Γ

γ

гамма

Λ

λ

лямбда

Τ

τ

тау

Δ

δ

дельта

Μ

μ

мю

Υ

υ

ипсилон

Ε

ε

эпсилон

Ν

ν

ню

Φ

φ

фи

Ζ

ζ

дзета

Ξ

ξ

кси

Χ

χ

хи

Η

η

эта

Ο

ο

омикрон

Ψ

ψ

пси

Θ

θ

тета

Π

π

пи

Ω

ω

омега

Латинский алфавит.

A

a

а

J

j

жи

S

s

эс

B

b

бе

K

k

ка

T

t

тэ

C

c

це

L

l

эль

U

u

у

D

d

де

M

m

эм

V

v

вэ

E

e

э

N

n

эн

W

w

дубль-вэ

F

f

эф

O

o

о

X

x

икс

G

g

же

P

p

пэ

Y

y

игрек

H

h

аш

Q

q

ку

Z

z

зет

I

i

и

R

r

эр

Квадраты натуральных чисел от 11 до 99.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

Факториалы.

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n!

1

1

2

6

24

120

720

5040

40320

362880

3628800

Степени.

n

2n

3n

4n

5n

6n

7n

8n

9n

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

9

16

25

36

49

64

81

3

8

27

64

125

216

343

512

729

4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

6

64

729

4096

15625

46656

117649

262144

531441

7

128

2187

16384

78125

279936

823543

2097152

4782969

8

256

6561

65536

390625

1679616

5764801

16777216

43046721

9

512

19683

262144

1953125

10077696

40353607

134217728

387420489

10

1028

59049

1048576

9765625

60466176

282475249

1073741824

3486784401

Некоторые сведения из курса планиметрии.

. Площади фигур.

Площадь треугольника.

A

B

C

c

b

a

Следствия из формулы (1):

( ha- высота, проведённая к стороне a)

Площадь квадрата со стороной a:

Площадь прямоугольника со сторонами a и b:

Площадь параллелограмма.

a

b

hb

ha

Площадь ромба со стороной a и углом .

a

a

h

Площадь трапеции с основаниями a и b высотой h.

a

b

h

N

M

Площадь круга радиуса R:

Длина окружности радиуса R:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

. Теорема косинусов.

A

B

C

c

b

a

. Теорема синусов.

V. Четыре замечательных точки треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

AM

BM

CM

A1

C1

B1

O

Высоты треугольника пересекаются в одной точке ( ортоцентр).

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.