§ 3. Углы и расстояния в пространстве.

. Угол между прямыми.

Угол между параллельными прямыми считается равным 0⁰.

Определение. Углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных пересечением прямых.

 a b



Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900.

a b

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямыми.

Пример. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найти угол между скрещивающимися прямыми A1B и C1D. В грани CDD1C1 проводим диагональ CD1; CD1|| BA1  ( A1B;C1D) = ( CD1;C1D) =900(угол между диагоналями квадрата).

D1 С1 В1 А1 В С D А

. Угол между прямой и плоскостью.

Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между данными прямыми и плоскостью считается равным 0⁰.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90⁰.

Определение. Прямая называется наклонной к некоторой плоскости, если она пересекает эту плоскость, но не перпендикулярна ей. MK  MN – наклонная к  KN – проекция MN на 

M  K N  a

Определение. Углом между наклонной к плоскости и этой плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на данную плоскость.

( MN;) = (MN;KN) = MNK= 

Теорема 7 (о трех перпендикулярах). Наклонная к плоскости перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости тогда и только тогда, когда проекция этой наклонной на эту плоскость, перпендикулярна данной прямой.

MK  MN – наклонная к  KN – проекция MN на  m   MN m KN m

M m K  N a

. Расстояния в пространстве.

Определение. Расстоянием от точки до прямой, не содержащей эту точку, называется длина отрезка перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости.

Определение. Расстоянием от точки до плоскости, не содержащей эту точку, называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной из плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Определение. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой (другими словами: расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые).

V. Угол между плоскостями. Двугранный угол.

Если плоскости параллельны, то угол между ними считается равным 0⁰.

Определение. Двугранным углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей не лежащими в одной плоскости. Полуплоскости называются гранями, а их общая граница ребром двугранного угла.

Определение. Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный при пересечении данного двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы данного двугранного угла равны между собой. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.

Пример. Дана пирамида MABCD , основание которой – квадрат ABCD со стороной 2, MAABC, MA = 2. Найдите угол наклона грани MBC плоскости основания.  (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Таким образом, плоскость MAB пересекает двугранный угол с ребром BC и перпендикулярна ему. Следовательно, по определению линейного угла: MBA – линейный угол данного двугранного угла. Δ MBA – равнобедренный прямоугольный MBA = 450. Ответ: 450.			M В А С D M А В 2 2
	Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой двугранный угол. Теорема 8 (признак перпендикулярности плоскостей): Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны	a α β b