§ 2. Пирамида.

. Пирамида. Правильная пирамида.

Определение. Пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный многоугольник (основание), а все остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину (вершина пирамиды).

Определение. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды на плоскость её основания. M – вершина пирамиды MO – высота пирамиды MOABC MO∩ ABC = O

M A B O D C четырехугольная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр этого многоугольника.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.

Правильная четырёхугольная пирамида MABCD: Основание ABCD – квадрат, изображаемый параллелограммом. МО – высота пирамиды, проходит через центр О квадрата ABCD – точку пересечения его диагоналей. МК – апофема МКО – линейный угол двугранного угла с ребром CD (угол между боковой гранью DMC и основанием ABCD)  МАО – угол между боковым ребром МА и плоскостью основания  DMC – плоский угол при вершине пирамиды

A B D C K M О

Правильная треугольная пирамида MABС:  АВС – правильный (равносторонний), высота МО пирамиды проходит через точку О – пересечение медиан (высот, биссектрис)  АВС. Если все грани правильной пирамиды – равносторонние треугольники, то такая пирамида называется правильным тетраэдром.

M B A1 C1 A C B1 О

Для решения задач полезно знать.

Для правильной пирамиды справедливы следующие утверждения:

– боковые рёбра равны между собой;

– боковые рёбра одинаково наклонены к плоскости основания;

– боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники;

– боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания (т.е. все двугранные углы при рёбрах основания равны);

– апофемы равны;

– плоские углы при вершине равны.

Для пирамиды, все боковые рёбра которой равны между собой, справедливы следующие утверждения:

– все боковые рёбра одинаково наклонены к плоскости основания;

– около основания можно описать окружность, вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности;

– около такой пирамиды можно описать шар, центр которого лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Для пирамиды, все двугранные углы при рёбрах основания которой равны между собой, справедливы следующие утверждения:

– в основание можно вписать окружность, вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности;

– в такую пирамиду можно вписать шар, центр которого лежит на высоте пирамиды.

. Усечённая пирамида.

Определение. Усечённой пирамидой называется многогранник, две грани которого – подобные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называемых основаниями пирамиды, а остальные грани – четырёхугольники (трапеции), называемые боковыми гранями. Другими словами: усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между основанием и параллельным ему сечением.

B1 A1 C1 B A C усеченная треугольная пирамида АВСА1В1С1

Определение. Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Боковые грани правильной усечённой пирамиды – равнобедренные трапеции, а её основания – правильные, подобные друг другу многоугольники.

. Объём и площадь поверхности пирамиды.

Пирамида
полная	усечённая
V = Для правильной пирамиды: h	V = Для правильной усечённой пирамиды:

Здесь S₁ и S₂ – площади нижнего и верхнего оснований, P – периметр основания, P₁ и P₂ – периметры нижнего и верхнего оснований, h – апофема.

Вопросы и задачи

641. Найдите объём пирамиды с высотой H, если:

а) H = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;

б) H= 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, угол АВС равен 30°.

641. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.

642. Для молока из картона склеен пакет, имеющий форму правильного тетраэдра с ребром 10 см. Найдите площадь потраченного картона.

643. Молоко планируют разливать в пакеты, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда с высотой 20 см и квадратным основанием, сторона которого 7 см, и в пакеты, имеющие форму правильного тетраэдра с ребром 15 см. Укажите, в какие пакеты входит больше молока.

644. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, все рёбра которой 2.

645. Рассматривается четырёхугольная пирамида MABCD такая, что в основании её лежит квадрат со стороной 2, а её высота MA равна 3. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

646. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если её высота равна 9, апофема – 18.

647. В правильной шестиугольной пирамиде апофема равна 15, высота – 12. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

648. Пусть KMNLP и ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно правильная четырёхугольная пирамида и правильная призма, имеющие равные высоты длины 1 и равные стороны оснований длины 2. Сравните их объёмы и площади полных поверхностей.

649. Пирамида равновелика кубу с ребром 1 и основанием её является грань куба. Найдите её высоту.

650. Рассматривается куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Назовите какую-либо пирамиду с вершинами в вершинах куба, такую, что её объём равен: а) ; б) .

651. Площадь основания пирамиды SABC равна 4 см², а высота – 2 см. Через середину высоты проведено сечение MNK, параллельное основанию. Найдите:

а) объём пирамиды SABC;

б) объём пирамиды SMNK;

в) объём тела ABCMNK, ограниченного основанием пирамиды и плоскостью MNK (усечённой пирамиды).

641. Рассматривается правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой равна 4, а угол наклона плоскости боковой грани MAB к плоскости основания равен 60°. Пусть MO – высота пирамиды, точка K – середина ребра AB. Найдите:

а) длину отрезка OK;

б) длину высоты MO;

в) площадь основания ABC;

г) объём пирамиды MABC.

641. Найдите объём треугольной пирамиды MABC, если:

а) все плоские углы с вершиной А прямые и AM = AB = AC = 1 см;

б) АВС – правильный треугольник со стороной 2 см, а ребро МА равно 3 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°;

в) АВС – равнобедренный треугольник со сторонами АВ = ВС = 2 см и углом АВС = 120°, грань МАВ имеет площадь, равную 4 см², и перпендикулярна основанию АВС;

г) АВС – прямоугольный треугольник, гипотенуза АВ которого равна 13 см, а катет АС = 12 см, вершина М проектируется в середину гипотенузы АВ, грань МАС образует с основанием угол 45°;

д) она является правильной пирамидой, ребро основания которой равно 2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°;

е) она является правильным тетраэдром, все рёбра которого равны 1.

641. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равны а. Найдите:

а) плоский угол при вершине S; 60⁰

б) угол ACS;

в) высоту пирамиды;

г) угол наклона бокового ребра к основанию;

д) угол наклона боковых граней к основанию.

641. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна 3а высота её основания равна 9. Найдите:

а) боковое ребро;

б) апофему;

в) сторону основания;

г) плоский угол при вершине S;

д) угол наклона боковой грани к основанию.

641. Высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна h, а сторона основания равна а. Найдите:

а) диагональ основания;

б) боковое ребро;

в) апофему;

г) расстояние от точки пересечения диагоналей основания O до плоскости боковой грани;

д) расстояние от вершины A до плоскости SCD.

641. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, высота пирамиды равна 4. Найдите:

а) боковое ребро;

б) высоту основания пирамиды;

в) апофему;

г) расстояние от центра основания O до плоскости боковой грани;

д) расстояние от вершины A до плоскости BSC.

641. Все боковые рёбра пирамиды равны 10, а радиус окружности, описанной около её основания, равен 8. Найдите высоту пирамиды.

776. Найдите объём четырёхугольной пирамиды MABCD, если ABCD – квадрат со стороной 4 и вершина М проецируется:

а) в точку А, а МВ = 5;

б) в точку В и ребро МА наклонено к плоскости основания под углом 45°;

в) в точку С и грань MAB наклонена к плоскости основания под углом 30°.

776. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды MABC, если:

а) MA = 5, AB = 6;

б) AB = 2, а высота пирамиды MO = 1;

в) AB = 2 и медиана боковой грани (апофемы) MK наклонена к плоскости основания под углом 30⁰;

г) высота MO равна 3, а плоскость боковой грани MAB наклонена к плоскости основания ABC под углом 45⁰.

776. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

777. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

778. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

779. Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

780. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

781. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

782. Основание пирамиды – квадрат со стороной 16 см, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 12 см.

783. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

784. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

785. Основание пирамиды – ромб с диагоналями, равными 6 м и 8 м. Высота равна 1 м. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды, если все двугранные углы при основании равны.

786. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1,5 см.

787. Основание пирамиды – ромб со стороной 15 см, каждая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Найдите объём пирамиды, если площадь её боковой поверхности равна 300 см².

788. Основание пирамиды – равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны составляют 3 см и 5 см, а боковая сторона – 7 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а большее боковое ребро равно 10 см. Найдите объём пирамиды.

789. Основание пирамиды – прямоугольник, площадь которого равна 1 м². Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углами 30° и 60°. Найдите объём пирамиды.

790. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему углом 30°. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём пирамиды.

791. Основание четырёхугольной пирамиды – прямоугольник с диагональю b и углом α между диагоналями. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите этот угол, если объём пирамиды равен V.

792. Найдите объём треугольной пирамиды SABC, если:

а) угол САВ равен 90°, ВС = c, угол АВС равен φ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол θ;

б) АВ = 12 см, ВС = СА = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°;

в) боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины а, b и с.

776. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и b. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объём пирамиды.

777. Объём правильной пирамиды MABC равен 2 см³. Основание АВС пирамиды – правильный треугольник со стороной 3 см. Найдите угол наклона к основанию бокового ребра МА.

778. Объясните, какой должна быть длина ребра правильного тетраэдра, чтобы его площадь полной поверхности была равна 4 см².

779. Основаниями усечённой пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

780. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 24 см и 8 см, высота – 15 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

781. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади оснований равны 25 см² и 9 см², боковое ребро образует с плоскостью нижнего основания угол 45°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

782. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если:

а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ;

б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α;

в) плоский угол при вершине равен β.

776. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен φ, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.

777. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если:

а) её высота равна H, а двугранный угол при основании равен β;

б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.

776. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объём пирамиды.

777. Найдите объём пирамиды и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.