Физика / Физика / Механика. Лекции / Механика. Пособие

Начальную фазу результирующих колебаний можно также определить непосредственно из векторной диаграммы:

Подставим числовые значения величин в формулы (4) и (5) и произведем вычисления:

A 32 22 2 3 2Cos(60 30 ) =4,84(см);

или = 0.735 рад.

Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и складываемые колебания, то его можно записать в виде

x ACos( t ), где A=4.84 см, =3,14 с-1, =0,735 рад

Задача 5.

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно - перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

соблюдением масштаба.

Решение:

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравн ений (1) и

(2). Заметив, что

y A2Cos 21 t , применим формулу косинуса половинного угла:

Используя это соотношение и отбросив размерности х и у, можно написать:

121

x Cos 1t .

Отсюда

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси Ох. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси Ох равна 1, а по оси Оу-2.

Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от - -1 до +1. а ординаты - от -2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию x 1:

находится в вершине параболы. При t=2с получим: х=1 и у=-2. Материальная точка находится в положении Д. После этого она будет двигаться в обратном направлении.

122

Задача 6.

Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью V= 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии x1 = 12 м и x2 = 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз = 0.75π. Найти длину волны написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t= 1,2с, если амплитуда колебаний А =0,1 м.

Подставив числовые значения величин, входящих в выражение для , и выполнив арифметические действия, получим

циклическую частоту . Так как = 2 /T (Т - период колебаний) и Т = V , то

2 V

Произведя вычисления, получим:

Зная значение амплитуды А колебаний, циклической частоты и скорости V распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

123

Чтобы найти смещение y указанных точек, достаточно в это уравнение подставить заданные значения t и х:

Задача 7.

Колеблющиеся точки, находящиеся на одном луче, удалены от источника колебания на 6 м и 8,7 м и колеблются с разностью фаз 3/4 . Период колебания

источника Т 1 10 2 с.Чему равна длина волны и скорость V распространения колебаний в данной среде? Составить уравнение волны для первой и второй точек, считая амплитуды колебаний точек, равными 0,5 м.

где x - смещение колеблющейся точки; А - амплитуда колебания t - время колебания; Т - период колебания; - циклическая частота; l - расстояние колеблющейся точки от вибратора; V - скорость волны; - длина волны.

В уравнении (2) выражение

2π tT lλ

является фазой колебания. Запишем фазы для каждой из точек:

Определим разность фаз:

124

Из уравнения (4) определяем длину волны

λ 2π l2 l1 .

Подставляя заданные значения, получим :

2 (8.7 6.0) 7,2 (м). 3/ 4

Скорость распространения волны находим из известной формулы

V λT .

Определяем числовое значение скор ости:

V 7,22 720 (м/с).

10

Циклическая частота определяется из соотношения:

Подставляя числовые значения в уравнение (1), получим уравнения волны, отображающие колебания первой и второй точек:

x1 0,5 Sin 200π t 6720 ;

x2 0,5 Sin 200π t 8,7720 .

Ответ: =7,2 м; V=720 м/с;

x1 0,5 Sin 200π t 6720

x2 0,5 Sin 200π t 8,7720

125

РЕКОМЕНДУЕМОЕ ЗАДАНИЕ

для в н е а у д и т о р н о г о рассмотрения

1.Записать закон движения гармонически колеблюще йся точки с амплитудой 10 см, периодом 4 с и начальной фазой, равной нулю.

Oтв. x=0,1Sin t

2t

2.Закон движения гармонического колебания имеет вид x=ASin(ωt+ φ) . Определить скорость V колеблющейся точки, ее ускорение a. При каком условии скорость и ускорение будут иметь максимальные значения?

3.Записать выражение для закона движения гармонически ко леблющейся точки с амплитудой 5 см, если в одну мин уту она совершает 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45 ° .

Отв. x 0,05Sin(5 t 4 ) м.

4.Начертить на одном графике кривые четырех гармонических колебаний точек с одинаковыми амплитудами, одинаковыми периодами, но имеющими разность фаз: 1) 4 , 2) 2 ,3)π, 4)2π

Отв. Кривые совпадают.

126

7.На стержне длиной l= 30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонталь ной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

Отв. L = 56 l = 25 см; Т = 2 Lg =1 c.

8.Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и выражаемых уравнениями х =0,5Sinωt (cм) и у =2Cоsωt (см). Найти уравнение траектории и построить ее, указав направление движения.

Отв. y 21 4x2 .

9.Волна с периодом Т=1,2 с и амплитудой колебаний А=2см распространяется со скоростью V=15 м/с. Чему равно смещение y= (x,t) точки, находящейся на расстоянии х= 45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источ ника прошло время t = 4 с ?

Отв. y=1 см.

10.Волна распространяется в упругой среде со скоростью V=100 м/с. Наименьшее расстояние x между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту колебаний.

Отв: =50 Гц.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1.Составить конспект ответов на вопросы.

2.Решить следующие задачи:

1. Записать закон гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки amax 49,3 10 2 м/с2, период колебания

127

Т=2 с и смещение точки от положения р авновесия в начальный момент t=0 , x0=25·10-3 м.

Отв. x=5·10-2 Sin(πt+π/6).

2. Колебания точки происходят по закону x ACos( t ) . В некоторый

период Т колебаний и фазу ( t ) в рассматриваемый момент времени.

3.Колебания материальной точки массой m=0,1г происходят согласно уравнению х=Acosωt, где А=5 см; ω= 20 с-1. Определить максимальные значения возвращающей силы Fmax и кинетической энергии Тmax.

Отв. Fmax =20 мН; Тmax =50 мкДж.

4.Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период колебаний T?

Отв. Т=1,35с.

5.Движение точки по кривой задано уравнением х = t3 и у = 2t. Найти уравнение траектории и полное ускорение a точки в момент времени 0,5 с.

Отв. у= 23x ; a=3 м/с2

6.Определить разность фаз Δφ колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, от стоящей на х=2 м от источника. Частота колебаний равна 5 Гц; волны распространяются со скоростью V= 40 м/с.

Отв. Δφ =1,57 рад.

128

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ “МЕХАНИКА”

Практическое занятие 9

УКАЗАНИЯ.

Самостоятельные задания составлены в 4 вариантах по 10 задач в каждом. Предложенные задачи охватывают все основные разделы механики.

1 задача - Прямолинейное движение.

2 задача - Криволинейное и вращательное движение.

3 задача - Законы Ньютона.

4 задача - Закон сохранения импульса тел.

5 задача - Работа и энергия.

6 задача - Момент инерции точки, тела. Теорема Штейнера.

7 задача - Основной закон динамики вращательного движения.

8 задача - Кинетическая энергия вращающегося тела.

9 задача - Закон сохранения момента импульса.

10 задача – Гармонические колебания. Маятники. Волны.

В конце заданий приведена таблица ответов.

ВАРИАНТ 1

1. Студент проехал половину пути на велосипеде со ско ростью V1 = 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью V2 = 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью V3 = 5 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

2.Тело брошено со скоростью V0 = 20 м/с под углом α = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 1,5с после начала движения: 1) нормальн ую составляющую ускорения an 2) тангенциальную составляющую ускорения aτ.

129

3.Тело массой m движется так, что зависимость пройден ного пути от времени описывается уравнением S=ACos ωt, где A и ω - постоянные. Записать закон изменения силы от времени F=f(t).

4.Снаряд массой m = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость V = 300 м/с. В этой точке он разорвался на

два осколка, причем больший осколок массой m1 = 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью V1 = 100 м/с. Определить скорость V2 второго, меньшего, осколка.

5.Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α К горизонту и движется далее по горизонталь ному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным ƒ определить расстояние S, пройденное телом на горизонтальном участке до полной остановки.

6.Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R=40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

7.Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A+Bt2+Ct3 (В=2рад/ c2, С=0,5рад/c3). Определить момент сил М для t= 3 с.

8.Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

9.Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной верти кальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

130