Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика. Пособие

.pdf

Скачиваний:

138

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

859.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Угловое ускорение вала выражается основн ым уравнением динамики вращающегося тела:

	M	,	(2)
	J

где M- вращающийся момент, действующий на вал; J-момент инерции вала.

Рассматриваем вал как однородный цилиндр . Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен:

J 12 m1r 2 .

Вращающийся момент M, действующий на вал, равен произведению силы T натяжения шнура на радиус r вала:

M Tr .

.m1

a T

m2 g

Рис. 4

Силу натяжения шнура найдём из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m2 g , направленная вниз, и сила T натяжения шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона:

m2 g T m2a ,

откуда

T m2 (g a) .

Таким образом, вращающий момент:

M m2 (g a)r .
Подставив в формулу			(2)		полученные выражения M и J, найдём угловое
ускорение вала:
	m2 g a r			2m2 g a		.
	1	2			m1r

	2 m1r

Для определения линейного ускорения гири подставим это выражение ε в формулу (1). Получим :

2m2 g a , m1

откуда

a		2m2	g		2 2		10 2,80	(м/с2).
	m1	2m2		10	2	2

Ответ: a=2,80 м/с2.

Задача 5.

Вычислить момент инерции Jz молекулы NO2 относительно оси Z,

проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости,

содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно

0,118 нм, валентный угол 140 ˚.

Дано:

Си:

Решение:

d 0,118 10 9 м

Молекулу

можно

рассматривать

как

140 ˚

систему,

состоящую из

трёх материальных

точек общей массой

m 2m m

(1),

где m1 – масса атома кислорода; m2 – масса атома азота.

Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это

указано на рис.5 (начало координат

совместим с центром масс С молекулы, ось Z

O (Z)

направим

перпендикулярно

плоскости

. m2

чертежа «к нам»).

Для

определения

воспользуемся

C .(Z)

теоремой Штейнера:

J Jc ma2 .

Для

данного

случая

эта

теорема

запишется в виде

Рис. 5

J z J z ma2 ,

где

J z -

момент

инерции

относительно оси Z’, параллельной оси Z и

проходящей через атом азота (точка O на рис.5)

Отсюда искомый момент инерции:

J z		J z ma2 .	(2)
Момент инерции J z			находим как сумму моментов инерции материал ьных
точек (атомов кислорода):
J	z	2m d 2 .	(3)
	z	1

Расстояние a между осями Z и Z΄ равно координате xc центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле:

xc			mi xi					.
xc								.
			mi
В данном случае
a xc						2m1 x1 m2 x2									,
a xc															,
							2m1 m2
или, учитывая, что
x		d cos							2	(рис.5) и x2=0
1									2
1
a xc								2m1				dCos					2		.					(4)
a xc					2m1 m2							dCos							.					(4)
					2m1 m2
Подставив в формулу (2) значения Jz’, m, а соответственно из выражений
(3),(1),(4),получим
							2			2m m									2m1				2	2		2
J		2m d								2m m														d Cos
	z			1							1			2													2
																		2m1 m2									2
или после преобразований
												2m1								2
J z		2m1d					2					2m1				Cos				2					(5)
							2
								1			2m1										2	.
											2m1		m2								2

Относительные атомные массы кислорода AO=16 и азота AN=14. Запишем массы атомов этих элементов в ато мных единицах массы (а.е.м.), а затем в

килограммах (1а.е.м. 1,66 10 27 кг):

m1 16 1,66 10 27 2,66 10 26 (кг), m2 14 1,66 10 27 2,32 10 26 (кг).

Значения m1,m2 ,d и a подставим в формулу (5) и произведём вычисления: J z 6,80 10 46 (кг.м )

Ответ: Jz=6,80.10-46 кг.м2 .

Задача 6.

Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1м и массой m1=1кг с прикреплённым к одному из его концов диском массой m2=0,5m1. Определить момент инерции Jz такого маятника относительно оси OZ, проходящей через точку O на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис.6)

Дано:		Си:	Решение:
Дано:		Си:	Решение:
l 1м					Общий момент инерции маятника равен сумме
m 1кг			моментов инерции стержня J z1			и диска J z2 :
1			J z J z1 J z2 .			(1)
m2 0,5m1			J z J z1 J z2 .			(1)
					Формулы, по которым вычисляются моменты
J z -?					Формулы, по которым вычисляются моменты
J z -?			инерции стержня J1 и диска J2 относительно осей,
проходящих		через их центры масс, даны в таблице на с.98. Чтобы определить
моменты инерции J z			и J z	2	надо воспользоваться теоремой
	1			2

Штейнера:

J Jc ma2 .

(2)

Выразим момент инерции стержня с огласно формуле (2):

J z1 121 m1l 2 m1a12 .

Расстояние a1 между осью OZ и параллельной ей осью, проходящей через центр масс С1 стержня, как следует из рис.6, равно

12 l 13 l 16 l . С учётом этого запишем

	l 3
l	C1 .	a1
	C1 .	a2

	l
	l
	2
l 4	R
	C2 .
	Рис. 6

	1		2		1		2	1		2		2
J z		m1l		m1		l			m1l		0,111m1l		.
J z	12	m1l		m1	6	l		9	m1l		0,111m1l		.
1	12				6			9
1

Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен:

J z2 12 m2 R2 m2 a22 , где R – радиус диска; R= l 4 .

Расстояние a2 между осью OZ и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска С2, равно (рис.6),

1211 l 23 l 14 l . С учётом этого запишем

J z2	1	m2	1		2	m2	11		2	0,0312m2l	2	0,840m2l	2	0,871m2l	2	.
	2			4	l			12	l

Подставив полученные выражения J z1 и Jz2 в формулу (1), найдём

J z 0,111m1l 2 0,871m2l 2 0,111m1 0,5 0,871m1 l 2 ,

или учитывая, что m2 0,5m1 ,

J z 0,547m1l 2 .

Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси OZ:

J z 0,547 1 12 0,547 (кг.м2) Ответ: Jz=0,547 кг.м2.

РЕКОМЕНДУЕМОЕ ЗАДАНИЕ

для в н е а у д и т о р н о г о рассмотрения

1.Два шара массами m и 2m (m=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l=40 см (рис.7).

Определить моменты инерции J относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

0	.m		. 2m
0	.	2m	.	m

	l 2		l 2
		Рис. 7

Отв. а) J		9	4	ml	2	3 , 6 10	3 кг.м2;
			4
б)	J	3	2	ml 2	2,4 10 3 кг.м2.
			2

2.Определить моменты инерции Jx, Jy,

Jz трёхатомных молекул типа AB2 относительно осей x, y, z (рис.8), проходящих через центр инерции C молекулы (ось Z перпендикулярна плоскости XY). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления

d	C .	Z	d	X
	C .			X

B				B

Рис. 8

выполнить для следующих молекул: 1) 2 d 0,097нм, 104 30

2) S 2 d 0,145нм, 124 .

Отв.1) J x 0,607 10 47	кг.м2; J y 1,14 10 47 кг.м2;
J z 1,75 10 47 кг.м2.
2) J x 1,23 10 46 кг.м2	; J y 8,71 10 46 кг.м2;

Jz 9,94 10 46 кг.м2.

3.Три маленьких шарика массой m=10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси:

1)перпендикулярной плоскости треугольника, проходящей через центр описанной окружности;

2)лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. М ассой стержней, соединяющих шары, пренебречь.

Отв. 1) J1= 4·10-4 кг·м2. 2) J2 =2·10-4 кг·м2.

4. В однородном диске массой m=1 кг и радиусом								d	O .
r=30 см вырезано круглое отверстие диаметром									1	O .	l

d=20 см, центр которого находится на расстоянии
										r
l=15 см от оси диска (рис.9). Найти момент
инерции J полученного тела относительно оси,										Рис. 9
проходящей перпендикулярно плоскости							диска
через его центр.
Отв.	J	1	2	mr 2	md 2	d 2 8l 2	4,19 10 2	.	2

					32r 2			кг	м .

5.Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня l=0,5 м. Найти период T колебаний стержня.

Отв. T=1,16 c.

6.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стенку, и совершает малые колебания в плоскости параллельной стене. Найти период T этих колебаний.

Отв. T=1,5c.

7.На барабан радиусом R=20 см, момент инерции которого J=0,1 кг.м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой m=0,5 кг (рис.10). До начала вращения барабана высота груза над полом h=1 м.

Найти: 1)через какое время t1 груз опустится до пола; 2)кинетическую энергию груза Wk в момент удара о пол; 3)натяжение шнура T.

Трением и растяжением шнура пренебречь. Отв. 1)t1=1,1 с; 2) Wk=0,82 Дж; 3)Т=4,1 Н.

8.Маховое колесо, имеющее момент инерции J=245 кг.м2, вращается

(n0=20об/с). Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающийся момент, оно ост ановилось. Найти:

1)момент трения Мтр;

2)число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки.

Отв. 1)Мтр=513 H.м ;2)N=600.

9.Шар массой m=10 кг и радиусом R=20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид

A Bt 2 Ct3 , где B=4 рад/с2; С=-1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t=2 c.

Отв. М=4/5mR2(B+3Ct)=-0,64 H.м.

10.Однородный диск радиусом R=0,2 м и массой m=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости от

времени задана уравнением A Bt , где B=8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска.

Отв. 4 Н.

Рис. 10

Таблица

Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными, m – масса тела)


Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный	Ось симметрии		mR2
цилиндр радиусом R	Ось симметрии		mR2
цилиндр радиусом R

Сплошной цилиндр	То же		1 mR2
или диск радиусом R	То же		1 mR2
или диск радиусом R		2
Прямой тонкий	Ось перпендикулярна стержню и		1	ml 2
стрежень длиной l	проходит через его середину	12		ml 2
стрежень длиной l	проходит через его середину	12

То же	Ось перпендикулярна стержню и		1 ml 2
То же	проходит через его конец		1 ml 2
	проходит через его конец	3
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара		2 mR2
		5

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1.Составить конспект ответов на вопросы.

2.Решить следующие задачи:

1.Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной l=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на расстояние a=20 см от одного из его концов.

Отв. J=4·10-3 кг·м2

2.Тонкий однородный стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением ε=2 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент M.

Отв. M 121 ml 2 0,25 Н·м.

3.На горизонтальную ось насажены маховик и тонкий шкив радиусом R=5 cм. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошёл путь S=1,8 м за время t=3 c. Определить момент инерции J маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

	2	gt 2
Отв. J mR					0,0235	кг·м .
Отв. J mR			2S	1	0,0235	кг·м .
			2S

4. Вал массой m=100 кг и радиусом R=5 см вращался с частотой n=8 c-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 H, под действием которой вал остановился через t=10 c. Определить коэффициент трения f.

Отв. f mRn Ft 0,31.

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Практическое занятие 7

II.Момент импульса и закон его сохранения . Кинетическая энергия вращения. Работа вращения

1.Что называется импульсом момента силы относительно неподвижной оси?

2.Что называется моментом импульса тела относительно точки и относительно неподвижной оси?

3.Какая физическая величина служит основной динамической характеристикой вращающегося тела?

4.Записать и сформулировать основной закон динамики вращательного движения тела через понятия импульса момента сил и момента импульса тела.

5.Записать и сформулировать закон сохранения момента импульса. При каких условиях он выполняется?

6.Вывести формулу кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

7.Чему равна полная энергия катящегося без скольжения тела ?

Литература: T.Гл.4.,§17,19.С.36,38, 2000.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>