Физика / Физика / Механика. Лекции / Механика. Пособие
.pdf
mgH=fmgCos |
H |
+fmgS, |
F тр |
|
|
|
|
||||||
Sin |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S=H |
|
Ctg |
. |
|
H |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
mg |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
α |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: S=H |
|
Ctg . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 7
Задача 14.
Груз массой m=1кг падает с высоты h=240 м и углубляется в песок на S=0,2 м (рис.8). Определите среднюю силу сопротивления грунта, если начальная скорость падения груза V0=14 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: |
|
|
Си: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m 1кг |
|
|
|
|
|
|
Делаем чертеж (рис.8) и записываем исходное |
|||||
h 240 м |
|
|
|
|
|
|
уравнение |
закона сохранения и |
|
m |
|
|
S 0,2м |
|
|
|
|
|
|
превращения энергии: |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A=W2-W1. |
(1) |
|
|
|
|
|
V0 14 м/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Выбираем уровень ОО отсчета |
|
V0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
||||
Fc -? |
|
|
|
|
|
|
потенциальной энергии по самому |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
нижнему положению груза (но не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
от поверхности земли). При перемещении груза в земле |
|
|
|
|
||||||||
внешней силой, действующей на груз является сила |
|
|
|
|
||||||||
|
F c |
|
|
|||||||||
сопротивления грунта Fc. Работа этой силы равна |
O |
|
O |
|||||||||
A= - Fc S, |
|
|
|
(2) |
S |
|
||||||
|
|
|
|
II |
|
|
||||||
(знак «минус» указывает, что сила направлена в сторону, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Рис. 8 |
|||||||||
противоположную движению, и образует с вектором |
|
|
|
|||||||||
скорости угол 1800, cos 1800= -1). В положении I груз |
|
|
|
|
||||||||
обладает механической энергией: |
|
|
|
|
|
|||||||
W1= |
mV 2 |
+mg(h+S). |
(3) |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В положении II кинетическая, а также потенциальная энергия относительно выбранного уровня равны нулю, т.е. W2=0. Подставляя найденные выражения для работы (2) и полной энергии (3) в исходное уравнение (1), получим:
81
-Fc S= - mV202 - mg(h+S).
Откуда после подстановки числовых значений :
|
m |
2 |
|
|
1 |
|
142 |
|
|
|
|
Fc= |
|
0 |
g h s |
|
|
|
|
10(240 |
0,2) |
|
12 (кН). |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
0,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Fc=12 кН.
РЕКОМЕНДУЕМОЕ ЗАДАНИЕ
для в н е а у д и т о р н о г о рассмотрения
1.Камень бросили под углом =600 к горизонту со скоростью V0=15 м/с. Найти кинетическую T, потенциальную П и полную Е энергии камня: 1)
спустя 1 с после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня m=0,2 кг, сопротивлением воздуха пренебречь.
Отв.1) Т=6,64 Дж ; П=15,5 Дж ; Е=22,5 Дж
2)Т=5,625 Дж ; П=16,875 Дж ; Е=22,5 Дж
2.Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S =5 м и приобрела скорость V =2 м/с. Определить работу А силы, если масса вагонетки равна m=400 кг и коэффициент трения =0,01.
Отв. A=996 Дж.
3.Вычислить работу А, совершаемую на пути S=12м равномерно
возрастающей силой, если в начале пути сила F1=10Н, в конце пути F2=46Н.
Отв. A=336 Дж.
4.Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенн ый на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара l=1 м. Найти скорость V пули, если известно, что стержень с шаром отклонился вследствие удара пули на угол = 100.
Отв. V=550 м/с.
82
5. Пуля массой m= 10 г, летящая с горизонтальной скоростью V= 400 м/с попадает в мешок, набитый ватой, массой М= 4 кг, висящий на длинной нити. Найти высоту h, на которую поднимается мешок, если
пуля застревает в нем, и долю |
K ее кинетической энергии, которая |
|
K0 |
была израсходована на пробивание ваты.
Отв. h=5 см, K =99,75 %
K0
6. Пружина жесткостью k=1 кН/м была сжата на х1=4 см. Какую нужно совершить работу А, чтобы сжатие пружины увеличить до х2=18 см?
Отв. А =15,4 Дж.
7.Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению x= A+Bt+Ct2+Дt3, где А=10 м, В= -2 м/с, С=1 м/с2, Д= -0,2 м/с3. Найти мощность N, затрачиваемую на движение точки
в моменты времени t1=2c и t2=5c. Отв. N1=0,32 Вт, N2=56 Вт.
8.Определить работу А, которую совершает сила гравитационного поля Земли, если тело массой m= 1 кг упадет на поверхность Земли:1) с
высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R3 земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными.
Отв. 1) А1= 12mgR3=31,2 MДж , А2=mgR3=62,4 МДж.
9.Шар массой m1= 6 кг налетает на другой, покоящийся шар массой m2=4 кг. Импульс Р1 первого шара равен 5 кг м/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара: 1) импульсы P'1
первого шара и Р'2 второго шара; 2) изменение Р1 импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т'1 первого шара и Т'2 второго шара; 4) изменение Т1 кинетической энергии первого шара; 5) долю ω1 кинетической энергии, переданной первым шаром второму и долю ω2 кинетической энергии, оставшейся у первого шара; 6) изменение U внутренней энергии шаров; 7) долю ω кинетической энергии первого шара, перешедшей во внутреннюю энергию шаров.
83
Отв. 1) P1 ' 3 кг м/с, P2 ' 2 кг м/с; 2) P1 -2 кг м/с;
3)Т'1=0,75 Дж, Т'2 =0,5 Дж; 4) Т1 =1,33 Дж;
5)ω1=0,24, ω2=0,36; 6) U= 0,833 Дж; 7) ωвнутр =0,4.
10.Определить максимальную часть ω кинетической энергии Т1, которую может передать частица массой m1= 2 10-22 г, сталкиваясь упруго с частицей массой m2=6 10-22 г, которая до столкновения покоилась.
Отв.ω=0,75.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1.Составить конспект ответов на вопросы.
2.Решить следующие задачи:
1.Камень брошен под углом к горизонту со скоростью V1. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определить, на какой высоте от горизонта скорость камня уменьшится вдвое?
Отв. h= 3V12 . 8g
2. Камень брошен вверх под углом =600 к горизонту. Кинетическая энергия Т0 камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую Т и потенциальную П энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Отв. Т =5 Дж, П =15 Дж.
3. На рельсах стоит платформа, на которой в горизонтальном положении закреплено орудие без противооткатного устройства. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса m1 снаряда равна 10 кг и его скорость V= 1 км/с. Масса m2 платформы с орудием и прочим грузом равна 20т. На какое расстояние l откатится платформа после выстрела, если коэффициент сопротивления =0,002?
m2V 2
Отв. l= 1 2 =6,375 м
2 fgm2
84
4.Какую работу A надо совершить, чтобы заставить движущееся тело
массой m=2кг 1) увеличить свою скорость от V1=2 м/с до V2=5 м/с; 2)остановиться при начальной скорости V0=8 м/с?
Отв. 1) A1=21 Дж; 2) A2=-64 Дж.
5.Теннисный мяч, падая с высоты h0 поднимается на высоту h1. На какую высоту он поднимется после n-го удара? Коэффициент восстановления ε считать постоянным.
Отв. hn h1n .
h0n 1
85
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Практическое занятие 6
I.Момент инерции. Теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
1.Что называется моментом инерции точки, тела? В каких единицах он измеряется?
2.От чего зависит и что характеризует м омент инерции тела?
3.Выписать формулы для нахождения момента инерции цилиндра, диска, шара, стержня относительно оси, проходящей через центр инерции.
4.Сформулировать и записать теорему Штейнера.
5.Что называется моментом силы, единицы его измерения.
6.К точкам А, В, С диска, который может вращаться относительно т. О приложены Показать плечо .F2 , F3 .силы: F1 , С
каждой силы. |
.A |
O·.F1 |
|
|
|
||
|
|
F 2 . |
F 3 |
|
|
B |
7.Сформулировать и записать математически основной закон динамики вращательного движения.
8.Перечислить основные кинематические характеристики поступательного и вращательного движения, записать связь между ними.
Литература: Т.Гл.4.,§ 16,18.С.34,37, 2000.
86
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
Задача 1. |
|
|
|
|
|
||
Вывести |
момент |
инерции однородного с тержня относительно |
оси, |
||||
проходящей через: 1) середину стержня перпендикулярно к его длине |
l; 2) |
||||||
начало стержня перпендикулярно к его длине l. |
|
||||||
Дано: |
|
|
Си: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|||||
m , l . |
|
|
|
|
|
1) Разделим стержень на элементарные участки |
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 1) в виде бесконечно тонких пластинок, |
|
J1 , J2 -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельных оси вращения. Момен т инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольно выделенного участка |
|
||||||
d J =dm r2 , |
(1) |
|
|||||
масса элементарного участка |
|
||||||
dm= Sdr,
поэтому |
|
|
|
dJ= Sr2dr , |
(2) |
где |
-плотность стержня; |
S-площадь |
поперечного сечения; dr-толщина элемента стержня; r-расстояние рассматриваемого элемента от оси.
Интегрируя выражение (2), найдем сумму моментов инерции всех элементарных участков, на которые разделен стержень, т.е. момент инерции всего стержня
|
l |
|
1 |
|
1 |
|
|
J=2 2 |
Sr 2dr = |
Sl3= |
ml2 |
||||
|
|
||||||
0 |
12 |
12 |
|
||||
O’
dr
r
S
O |
Рис. 1 |
2) аналогично определяем момент инерции для однородного стержня (рис. 2), ось которого проходит через начало стержня перпендикулярно к нему
dJ=dmr2 ; dm= dV= Sdr ; dJ= Sr2dr ,
O’ |
r |
|
|
|
dr |
|
S |
O |
Рис. 2 |
J l |
Sr 2 dm S |
r 3 |
|
l0 |
|
1 |
Sl 3 |
|
1 ml 2 . |
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||
0 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
||
87
Ответ: J1 121 ml2 , J2 13 ml 2 .
Задача 2.
Через блок, закрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перетянута нить, к концам которой прикреплены грузы m1=300 г и m2=200 г. Масса блока m0=300 г. Блок считать однородным диском. Найти ускорение а грузов.
Дано: |
Си: |
|
m1 |
300 г |
0,3кг |
m2 |
200 г |
0,2 кг |
m0 |
300 г |
0,3кг |
a -?
Решение:
Так как система движется (рис. 3) в направлении оси Y (m2<m1), применим второй закон Ньютона для первого и второго грузов :
|
|
|
|
|
m1 g T1 , |
||
m1a1 |
|||
|
|
|
|
|
|
m2 g T2 |
|
m2a2 |
|||
или в скалярной форме
m a |
T |
m g , |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 a2 |
|
m2 g T2 . |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Основное уравнение динамики вращательного движения для блока : |
|
||||||||||||||||||
J =M1+M2 , |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где M1 и M2- моменты сил натяжения T 1 |
и T 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как нити невесомы, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||||||
Т1=Т 1, Т2=Т 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ускорение грузов а1=а2=а, а= r. |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
С учетом этого запишем уравнение (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J =T1r-T2r, |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где r-радиус блока. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Момент |
|
|
инерции однородного диска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
m1 g |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
определяем по формуле |
|
m2 g |
|
|
|
|
|
Y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
J |
m |
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. |
|
|||||||
m0 r 2 a |
T1r T2 r . |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решим совместно уравнения (1), (2) и (4)
88
|
|
|
|
m a T m g; |
|||
|
1 1 |
|
1 1 |
m2a2 m2 g T2 ; |
|||
|
2 |
|
|
m0r |
a |
T1r T2r; |
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
m a T m g; |
|||
|
1 |
|
1 1 |
m2 a T2 m2 g; |
|||
|
2 |
a |
|
m0 r |
T1r T2 r; |
||
|
2r |
|
|
|
|
|
|
Умножив уравнение (2) на -1 и сложив все три уравнения, получим
a g |
m1 m2 |
|
10 |
|
0,3 0,2 |
1,5 |
(м/с ) |
||||
m m |
|
m0 |
|
0,3 |
0,2 |
0,15 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: a=1,5 м/с2.
Задача 3.
Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая 720 об/мин. Массу маховика можно считать
распределенной |
|
по его |
ободу радиусом 40 см. Через 30 с |
под |
действием |
|||
тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент |
M и |
|||||||
число оборотов N, которое делает маховик до полной остановки. |
|
|
|
|||||
Дано: |
|
Си: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
Для определения тормозящего момента М |
|||
m 4 кг |
|
|
|
|
нужно применить основное уравнение динамики |
|||
|
|
|
|
вращательного движения, т.е. второй закон |
||||
n 720 об/мин |
|
12 с-1 |
|
|
||||
t 30 с |
|
|
|
|
Ньютона |
|
|
|
|
|
|
|
J M t , |
|
(1) |
|
|
R 0,4м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
где J-момент инерции маховика относительно |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
оси, проходящей через центр масс; - |
|||
M , N -? |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
изменение угловой скорости |
за |
время |
t, |
|
|
|
|
|||||
причем = - 0, где -конечная угловая скорость, а 0-начальная угловая скорость; М - тормозящий момент сил, действующих на тело.
По условию задачи = - 0, так как конечная угловая скорость =0. Выразим начальную угловую скорость через число оборотов маховика в единицу времени n, тогда 0=2 n и = -2 n.
Момент инерции маховика J=mR2, где m-масса маховика, а R-его радиус. Зная все величины, можно определить тормозящий момент:
-mR2 n=M t, откуда:
M |
2 n mR 2 |
. |
(2) |
|
t |
||||
|
|
|
Определим числовое значение тормозящего момента М в единицах СИ:
89
M 2 12 4 0,42 1,61(Н·м) 30
Угол поворота (угловой путь ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения :
0t |
t 2 |
, |
(3) |
|
2 |
|
|
где -угловое ускорение. По условию задачи:
0 t; 0; 0 t . (4) Так выражение (3) может быть записано так:
0 t |
0 t |
|
0 t |
. |
(5) |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Формула (5) может быть также получена по значению средней угловой скорости. Выразив значение через число полных оборотов N и 0 через число оборотов маховика n в единицу времени, найдем:
N; 0 n . (6) Отсюда определим число полных оборотов N:
2 2 n t ; |
N n t . |
(7) |
||
|
2 |
|
2 |
|
Подставим числовые значения в (7): |
|
|||
N |
12 30 |
180 . |
|
|
|
2 |
|
|
|
Ответ: M=-1,61 H·м, N=180. |
|
|||
Задача 4. |
|
|
|
|
Вал в |
виде |
сплошного цилиндра |
массой m1=10 кг насажен на |
|
горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному ко нцу которого подвешена гиря массой m2=2 кг (рис.4). С каким ускорением a будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?
Дано: |
|
|
Си: |
|
Решение: |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1 |
10 кг |
|
|
|
|
Линейное |
ускорение |
гири |
равно |
|
m2 |
2 кг |
|
|
|
|
тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на |
||||
|
|
|
|
его цилиндрической поверхности, и связано с |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
а-? |
|
|
|
|
|
угловым ускорением ε вала соотношением : |
|
|||
|
a |
|
r , |
|
|
(1) |
|
|
|
|
где r – радиус вала. |
|
|
|
|
|
|
||||
90